Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2020

a) Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD eine Raute, aber kein Quadrat ist.

Lösung: $$\vec{AB} = \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} = \vec{DC}, \quad \vec{AD} = \begin{pmatrix} -5 \\ -8 \\ 6 \end{pmatrix} = \vec{BC}$$ $$|\vec{AB}| = |\vec{AD}| = \sqrt{25 + 64 + 36} = 5\sqrt{5}$$ $$\vec{AB} \circ \vec{AD} = 25 - 64 - 36 = -75 \neq 0$$

b) Begründen Sie mithilfe einer Skizze, dass der Flächeninhalt der Raute ABCD mithilfe des Terms 1/2 · |AC| · |BD| berechnet werden kann.

Lösung: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $|\vec{AC}|$ und $|\vec{BD}|$.

b) Erläuterung zur Skizze des Flächeninhalts

Lösung: Der Flächeninhalt der Raute ist halb so groß wie der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen $|\vec{AC}|$ und $|\vec{BD}|$.

c) Ein Kreis berührt jede der vier Seiten der Raute ABCD. Begründen Sie, dass P(4|1,6|-1,2) einer der Berührpunkte ist.

Lösung: $$\vec{AP} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1{,}6 \\ -1{,}2 \end{pmatrix} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} = \frac{1}{5}\cdot \vec{AB}$$, d. h. $P$ liegt auf $\overline{AB}$. Der Mittelpunkt des Kreises ist der Schnittpunkt der Diagonalen der Raute, also der Koordinatenursprung $O(0|0|0)$. Es gilt: $$\vec{OP} \circ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1{,}6 \\ -1{,}2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -5 \\ 8 \\ -6 \end{pmatrix} = -20 + 12{,}8 + 7{,}2 = 0$$.