Aufgabe WTR 1 - Differentialrechnung: Tangenten, Extrem-… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

a

Zeigen Sie, dass

die Graphen von $u$ und $v$ nur die Punkte $P(0|0)$ und $Q\left(\frac{8}{3}\Big|\frac{64}{27}\right)$ gemeinsam haben;

$v'(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 2x$ ein Term der ersten Ableitungsfunktion von $v$ ist.

b

Weisen Sie nach, dass der Punkt $Q$ ein Extrempunkt des Graphen von $v$ ist, und geben Sie die Art dieses Extrempunkts an.

c

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Für jeden Wert von $x \in \left]0; \frac{8}{3}\right[$ ist die Steigung des Graphen von $v$ größer als die Steigung des Graphen von $u$.

d

Die Ausdehnung des Fischs in y-Richtung beträgt $\frac{539}{216}$. Ermitteln Sie damit die Ausdehnung des Fischs in x-Richtung.

(zur Kontrolle: Die Ausdehnung in x-Richtung beträgt $\frac{11}{3}$.)

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

g

Weisen Sie nach, dass die x-Achse für alle Werte von $k$ Tangente an den Graphen von $u_k$ in dessen Wendepunkt ist.

h

Bestimmen Sie, wie der Wert von $k$ gewählt werden müsste, damit die Ausdehnung der Schwanzflosse in y-Richtung $\frac{3}{2}$ beträgt.

i

Die Graphen von $u_k$ und $v$ schließen mit der Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse jeweils einen Winkel ein. Für einen Wert von $k$ sind die beiden Winkel gleich groß. Prüfen Sie, ob die Kopfspitze für diesen Wert von $k$ oberhalb der Wasseroberfläche liegt.