Aufgabe 1 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2020

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E: 3x_2 + 4x_3 = 0$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0 \mid 0 \mid 0)$, $P\left(-\frac{25}{2} \mid 0 \mid 0\right)$, $Q\left(-\frac{25}{2} \mid -12 \mid 9\right)$ und $R(0 \mid -12 \mid 9)$ in $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8k + \frac{8}{3}k^2 \mid 6k - 2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

c)

Begründen Sie, dass $OPQR$ ein Rechteck ist. [2 BE]

d)

Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man die Koordinaten des Punkts $S$ ermitteln könnte, für den das Viereck $OPSR$ ein ebenes Drachenviereck ist. [3 BE]

e)

Berechnen Sie den Flächeninhalt des geneigten Teils der Bahn. [2 BE]

f)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den der geneigte Teil der Bahn mit dem Untergrund einschließt. [3 BE]