Aufgabe 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

b

Weisen Sie nach, dass der Punkt Q ein Extrempunkt des Graphen von $v$ ist, und geben Sie die Art dieses Extrempunkts an.

c

Entscheiden Sie für jede der Aussagen I und II, ob sie richtig oder falsch ist. Begründen Sie Ihre Entscheidung jeweils rechnerisch.

I Für jeden Wert von $x \in \left]0;\frac{8}{3}\right[$ ist die Steigung des Graphen von $v$ größer als die Steigung des Graphen von $u$.

II Die Graphen von $u$ und $v$ berühren sich im Punkt $P$.

d

Berechnen Sie die Ausdehnung des Fischs in x-Richtung und in y-Richtung.

f

Weisen Sie nach, dass die x-Achse für alle Werte von $k$ Tangente an den Graphen von $u_k$ in dessen Wendepunkt ist.

h

Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters $k$ auf die Lage der Kopfspitze.

i

Untersuchen Sie für jede der folgenden Eigenschaften I, II und III, für welche Werte von $k$ diese zutrifft.