Aufgabe CAS 1 · 2 - Funktionsterme bestimmen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Auf einer 3 km langen Teststrecke fährt ein Testfahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit. In Abhängigkeit von der vom Startpunkt aus zurückgelegten Strecke in Kilometern wird durchgehend der lokale Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Millilitern pro Kilometer gemessen.

Für den ersten Abschnitt der Fahrt liegen folgende Messwerte vor:

zurückgelegte Strecke in km · 0,00 · 0,25 · 0,50 · 0,75 · 1,00

lokaler Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$ · 66,3 · 80,5 · 88,7 · 91,8 · 90,7

Für die gesamte Fahrt kann der lokale Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k$ mit

$$k(x) = 10x^3 - 57x^2 + 72x + 66$$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in km und $k(x)$ der lokale Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$.

a)

Die gemessenen Werte für den lokalen Kraftstoffverbrauch lassen sich in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke modellhaft durch eine ganzrationale Funktion beschreiben. Ermitteln Sie einen passenden Funktionsterm.

b)

Zeigen Sie, dass die Funktion $k$ für den Startpunkt und für eine zurückgelegte Strecke von $1{,}00\text{ km}$ jeweils einen Wert liefert, der vom zugehörigen Messwert um weniger als $0{,}5\ \%$ abweicht.

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