Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2020

Zeigen Sie, dass das Quadrat einer spaltenstochastischen Matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ebenfalls eine spaltenstochastische Matrix ist.

Lösung: $M^2 = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab + bd \\ ac + cd & bc + d^2 \end{pmatrix}$ Da $a, b, c, d \ge 0$ sind, sind auch alle Einträge von $M^2$ reelle Zahlen größer oder gleich null. Spaltensumme 1: $a^2 + bc + ac + cd = a(a + c) + c(b + d) = a \cdot 1 + c \cdot 1 = a + c = 1$ Spaltensumme 2: $ab + bd + bc + d^2 = b(a + c) + d(b + d) = b \cdot 1 + d \cdot 1 = b + d = 1$