Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2020

In einer Stadt gibt es nur drei Fastfood-Restaurants $R_1$, $R_2$ und $R_3$. Das Wechselverhalten der Kunden von einem Monat zum nächsten lässt sich modellhaft durch das abgebildete Diagramm beschreiben.

a)

Geben Sie zwei Aspekte an, hinsichtlich derer das Modell eine Vereinfachung gegenüber der Realität darstellt. [2 BE]

Die Entwicklung der Anteile der Kunden von einem Monat $n$ zum nächsten kann im Modell durch eine Matrix $M$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ beschrieben werden. Dabei haben die Vektoren $\vec{v}_n$ die Form $\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$, wobei $r_1$ den Anteil der Kunden von $R_1$, $r_2$ den Anteil der Kunden von $R_2$ und $r_3$ den Anteil der Kunden von $R_3$ bezeichnet.

b)

In einem Monat hat das Restaurant $R_1$ einen Kundenanteil von $50\,\%$, $R_2$ einen Kundenanteil von $20\,\%$ und $R_3$ einen Kundenanteil von $30\,\%$. Berechnen Sie die Anteile der Kunden im darauffolgenden Monat. [3 BE]

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c)

Angenommen, $R_2$ hätte in einem Monat einen Kundenanteil von $10\,\%$. Ermitteln Sie, wie groß der Kundenanteil von $R_3$ in diesem Monat sein müsste, damit die Kundenanteile der drei Restaurants im folgenden Monat übereinstimmen. [4 BE]

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d)

Für die Matrix $L = s \cdot \begin{pmatrix} 93 & -47 & 33 \\ 8 & 168 & -152 \\ -21 & -41 & 199 \end{pmatrix}$ gilt $M \cdot L = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Beschreiben Sie die Bedeutung von $L$ im Sachzusammenhang und bestimmen Sie den Wert von $s$. [3 BE]

e)

Die Lösungen der Gleichung $M \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_n$ haben die Form $t \cdot \begin{pmatrix} 265 \\ 140 \\ 95 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$. Bestimmen Sie den Kundenanteil von $R_3$, der sich auf der Grundlage des Modells langfristig ergeben würde. [2 BE]

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Das Restaurant $R_3$ schließt zum Ende eines Monats dauerhaft. Von diesem Monat zum nächsten kann das Wechselverhalten der Kunden im Modell mithilfe der Matrix $$N = \begin{pmatrix} 0{,}9 & 0{,}34 & 0{,}4 \\ 0{,}1 & 0{,}66 & 0{,}6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ beschrieben werden. Dabei soll davon ausgegangen werden, dass diejenigen Kunden von $R_1$ und $R_2$, die zum nächsten Monat nicht zu $R_3$ gewechselt wären, durch die Schließung in ihrem Wechselverhalten nicht beeinflusst werden.

f)

Begründen Sie, dass aus der Verteilung im Monat nach der Schließung mithilfe des Modells nicht auf die Verteilung der Kunden unmittelbar vor der Schließung geschlossen werden kann. [3 BE]

g)

Einige Kunden von $R_2$ wären zum nächsten Monat zu $R_3$ gewechselt. Ermitteln Sie denjenigen Anteil dieser Kunden, der nun bei $R_2$ verbleibt. [3 BE]

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h)

Auch in den Monaten nach der Schließung von $R_3$ gibt es stets Kunden beider verbliebenen Restaurants, die von einem Monat zum nächsten das Restaurant wechseln. Dieses Wechselverhalten kann – analog zum Modell für die Entwicklung der Anteile der Kunden vor der Schließung von $R_3$ – mithilfe einer Matrix beschrieben werden. In einem Monat hat $R_2$ einen Kundenanteil von $40\,\%$, im folgenden Monat hat dieses Restaurant nur noch halb so viele Kunden wie $R_1$. Ermitteln Sie alle passenden Matrizen. [5 BE]