Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2020

a Berechnen Sie das Volumen des Würfels.

Lösung: $81\sqrt{3}$

b Begründen Sie, dass das Viereck ABGH ein Rechteck ist, und zeichnen Sie dieses in die Abbildung ein. (Begründung)

Lösung: $\overline{AB}$ und $\overline{GH}$ sind als Kanten, $\overline{AH}$ und $\overline{BG}$ als Seitendiagonalen eines Würfels gleich lang. $\overline{BG}$ liegt in der Seitenfläche $BFGC$ und steht damit senkrecht zu $\overline{AB}$.

d Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene L mit der xz-Ebene einschließt.

Lösung: 45°

e Ermitteln Sie die Koordinaten von F.

Lösung: $(1{,}5 - \frac{3}{2}\sqrt{3} \mid -1{,}5 - \frac{3}{2}\sqrt{3} \mid 6)$

g Begründen Sie mithilfe einer Skizze, dass das Volumen des kleineren Teilkörpers ein Achtel des Volumens des Würfels ist. (Begründung)

Lösung: Der kleinere Teilkörper ist ein gerades Prisma. Die Grundfläche des Prismas ist eine Teilfläche der Seitenfläche BFGC; der Inhalt dieser Teilfläche ist ein Achtel des Inhalts der Seitenfläche BFGC. Die Höhe des Prismas stimmt mit der Kantenlänge des Würfels überein.

Zeichnungen zu den Teilaufgaben b und g

Lösung: Teilaufgabe b: Das Rechteck $ABGH$ wird durch die Verbindung der Punkte $A$ mit $B$, $B$ mit $G$, $G$ mit $H$ und $H$ mit $A$ in die Würfelabbildung eingezeichnet. Teilaufgabe g: Die Skizze der Seitenfläche $BFGC$ zeigt, dass das durch die Mittelpunkte von $\overline{BC}$ und $\overline{CG}$ begrenzte Dreieck genau $\frac{1}{8}$ der Gesamtfläche des Quadrats einnimmt.