Abitur NRW Mathematik 2020 · GK · Teil B · Stochastik (CAS)

In einem großen Unternehmen sind 29 % der Beschäftigten weiblich.

1 Es werden 40 Beschäftigte zufällig ausgewählt. Die Anzahl der weiblichen Beschäftigten unter den ausgewählten kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße $X$ beschrieben werden.

a)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens 12 der ausgewählten Beschäftigten weiblich sind. [2 BE]

b)

Beschreiben Sie die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang: [3 BE]

$$\sum_{x=0}^{10} \binom{40}{x} \cdot 0{,}29^x \cdot 0{,}71^{40-x} \approx 0{,}36$$

c)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 40 ausgewählten Beschäftigten die Anzahl derjenigen, die nicht weiblich sind, dreimal so groß ist wie die Anzahl der weiblichen. [2 BE]

d)

Begründen Sie ohne Berechnung von Wahrscheinlichkeiten, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ für 11 oder 12 den größten Wert hat. [3 BE]

In einem großen Unternehmen sind 29 % der Beschäftigten weiblich.

2 Unter allen Beschäftigten wurde eine Befragung zur Zufriedenheit am Arbeitsplatz durchgeführt. Dabei ergab sich, dass 3,5 % der weiblichen und 10,5 % der anderen Beschäftigten unzufrieden sind. Unter allen Beschäftigten wird eine Person zufällig ausgewählt.

Das abgebildete Baumdiagramm stellt den Sachverhalt dar.

a

Ermitteln Sie die Werte von $x$ und $y$.

[3 BE]

b

Die ausgewählte Person ist an ihrem Arbeitsplatz unzufrieden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie nicht weiblich ist.

[3 BE]

c

Für eine Abteilung des Unternehmens ergab die Befragung, dass 4 % der weiblichen und 10 % der anderen Beschäftigten an ihrem jeweiligen Arbeitsplatz unzufrieden sind. Unter allen Beschäftigten dieser Abteilung ist der Anteil der unzufriedenen Beschäftigten, die nicht weiblich sind, fünfmal so groß wie der Anteil der unzufriedenen weiblichen Beschäftigten. Bestimmen Sie für diese Abteilung den Anteil der weiblichen Beschäftigten.

[4 BE]

Eine repräsentative Befragung deutscher Unternehmen ergab, dass von ihnen

10 % Onlinefortbildungen, aber keine Präsenzfortbildungen,

13 % Präsenzfortbildungen, aber keine Onlinefortbildungen und

19 % weder Online- noch Präsenzfortbildungen

für ihre Beschäftigten anbieten.

Ein deutsches Unternehmen wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$E_1$: „Das Unternehmen bietet Onlinefortbildungen an.“

$E_2$: „Das Unternehmen bietet Präsenzfortbildungen an.“

a

Stellen Sie den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar. [2 BE]

$E_2$

$\overline{E_2}$

Summe

$E_1$

$\overline{E_1}$

Summe

b

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Unternehmen Präsenzfortbildungen anbietet, wenn bekannt ist, dass sein Angebot Onlinefortbildungen enthält. [2 BE]

c

Entscheiden Sie, ob der Term $E_1 \cup (\overline{E_1} \cap E_2)$ das Ereignis „Mindestens eines der Ereignisse $E_1$ und $E_2$ tritt ein“ beschreibt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [3 BE]

d

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens eines der Ereignisse $E_1$ und $E_2$ eintritt. [2 BE]

Eine repräsentative Befragung deutscher Unternehmen ergab, dass von ihnen

10 % Onlinefortbildungen, aber keine Präsenzfortbildungen,

13 % Präsenzfortbildungen, aber keine Onlinefortbildungen und

19 % weder Online- noch Präsenzfortbildungen

für ihre Beschäftigten anbieten.

Ein deutsches Unternehmen wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$E_1$: „Das Unternehmen bietet Onlinefortbildungen an.“

$E_2$: „Das Unternehmen bietet Präsenzfortbildungen an.“

e)

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von 25 zufällig ausgewählten deutschen Unternehmen mindestens fünf Präsenzfortbildungen, aber keine Onlinefortbildungen anbieten.

[2 BE]

%

f)

In einem anderen europäischen Land befinden sich unter 30 zufällig ausgewählten Unternehmen mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % mindestens zwei, die Onlinefortbildungen, aber keine Präsenzfortbildungen anbieten. Bestimmen Sie für dieses Land den Anteil der Unternehmen, die Onlinefortbildungen, aber keine Präsenzfortbildungen anbieten.

[4 BE]

%

Eine repräsentative Befragung deutscher Unternehmen ergab, dass von ihnen

10 % Onlinefortbildungen, aber keine Präsenzfortbildungen,

13 % Präsenzfortbildungen, aber keine Onlinefortbildungen und

19 % weder Online- noch Präsenzfortbildungen

für ihre Beschäftigten anbieten.

Ein deutsches Unternehmen wird zufällig ausgewählt. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

$E_1$: „Das Unternehmen bietet Onlinefortbildungen an.“

$E_2$: „Das Unternehmen bietet Präsenzfortbildungen an.“

2 Von den 120 Beschäftigten eines Unternehmens sind 80 mit dessen Fortbildungsangebot zufrieden. Von den 120 Beschäftigten werden 75 zufällig ausgewählt.

a)

Begründen Sie, dass sich das Modell der Binomialverteilung nicht dafür eignet, eine sinnvolle Aussage über die Anzahl derjenigen Beschäftigten unter den ausgewählten zu treffen, die mit dem Fortbildungsangebot zufrieden sind.

b)

Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den ausgewählten Beschäftigten genau 50 mit dem Fortbildungsangebot zufrieden sind.

$P(X = 50) \approx$

%