Aufgabe CAS 2 · 1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\text{ cm}$.

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $$w(t) = 60 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3000}(t-40)^2}$$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \ge 0$.

a)

Bestätigen Sie rechnerisch, dass die Wachstumsrate im Jahr 2040 am größten ist.

Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitraum in Jahren, in dem die Fichten mehr als $50\,\frac{\text{cm}}{\text{a}}$ wachsen.