Abitur NRW Mathematik 2020 · GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS)

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(-1|1|2)$, $B(-1|5|2)$ und $C(-4|3|3)$ gegeben. Das Dreieck $ABC$ stellt modellhaft ein Sonnensegel dar, das zwischen drei Masten gespannt ist. Der horizontale Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Auf das Segel trifft Sonnenlicht. Die zu den beiden unteren Eckpunkten des Segels gehörenden Eckpunkte seines Schattens auf dem Untergrund werden durch $A'(-5|3|0)$ und $B'(-5|7|0)$ dargestellt.

a)

Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene, die das Dreieck ABC enthält, in Koordinatenform. (zur Kontrolle: $x_1 + 3x_3 = 5$)

d)

Auf das Segel trifft Sonnenlicht. Die zu den beiden unteren Eckpunkten des Segels gehörenden Eckpunkte seines Schattens auf dem Untergrund werden durch $A'(-5|3|0)$ und $B'(-5|7|0)$ dargestellt.

Ermitteln Sie im Modell die Koordinaten des Schattens des oberen Eckpunkts des Segels. (zur Kontrolle: $(-10|6|0)$)

$C'($

$|$

$|$

$)$

In einem Koordinatensystem sind die Punkte $A(-1|1|2)$, $B(-1|5|2)$ und $C(-4|3|3)$ gegeben. Das Dreieck $ABC$ stellt modellhaft ein Sonnensegel dar, das zwischen drei Masten gespannt ist. Der horizontale Untergrund wird durch die $x_1x_2$-Ebene beschrieben. Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

Auf das Segel trifft Sonnenlicht. Die zu den beiden unteren Eckpunkten des Segels gehörenden Eckpunkte seines Schattens auf dem Untergrund werden durch $A'(-5|3|0)$ und $B'(-5|7|0)$ dargestellt.

b)

Damit Regenwasser gut abfließen kann, soll das Segel so gespannt sein, dass es eine Neigung von mindestens 30 % aufweist. Prüfen Sie, ob diese Bedingung erfüllt ist.

%

c)

Die Seite des Segels, die parallel zum Untergrund verläuft, ist zum betrachteten Zeitpunkt 4 % länger als vor dem ersten Aufspannen des Segels. Berechnen Sie die Länge, die diese Seite vor dem ersten Aufspannen hatte.

e)

Stellen Sie den Schatten des Segels in der $x_1x_2$-Ebene grafisch dar und bestimmen Sie seinen Flächeninhalt.

2 Die Abbildung zeigt die Gerade $t: \vec{x} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$, die die Gerade durch die Punkte $R(-1|2|3)$ und $S(-1|4|3)$ nicht schneidet. Zu jedem Wert von $\lambda$ gehört ein Punkt $T_\lambda$ von $t$. Jeder Punkt $T_\lambda$ hat von $R$ und $S$ den gleichen Abstand.

Unter den Dreiecken $RST_\lambda$ hat eines den kleinsten Flächeninhalt. Begründen Sie, dass der zugehörige Wert von $\lambda$ die Lösung der folgenden Gleichung ist:$$\begin{pmatrix} -1 - \lambda \\ 0 \\ -4 + 3\lambda \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$$

Betrachtet wird der abgebildete Würfel mit $A(0|0|0)$, $B(3|-3|3)$, $G(0|0|9)$ und $H(-3|3|6)$.

c)

Das Viereck $ABGH$ liegt in der Ebene $L$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $L$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x + y = 0$)

Betrachtet wird der abgebildete Würfel mit $A(0|0|0)$, $B(3|-3|3)$, $G(0|0|9)$ und $H(-3|3|6)$.

a)

Berechnen Sie das Volumen des Würfels.

b)

Begründen Sie, dass das Viereck $ABGH$ ein Rechteck ist. Zeichnen Sie das Rechteck in die Abbildung ein und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts seiner Diagonalen an.

$S($ $|$ $|$ $)$

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene $L: x + y = 0$ mit der $xz$-Ebene einschließt.

°

e)

Betrachtet wird der Term $\vec{AM} + \frac{1}{2} \cdot |\vec{BG}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, wobei $M$ der Mittelpunkt von $\overline{BG}$ ist.

Geben Sie die Bedeutung des Terms im Zusammenhang mit dem Würfel an und begründen Sie Ihre Angabe.

f)

Die Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten $\overline{BC}$, $\overline{CG}$, $\overline{AD}$ und $\overline{DH}$ verläuft, teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Begründen Sie mithilfe einer Skizze, dass das Volumen des kleineren Teilkörpers ein Achtel des Volumens des Würfels ist.