Aufgabe 2 - 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

3 Am 26. April 1986 ereignete sich in der Ukraine ein Reaktorunfall, bei dem radioaktives Plutonium-241 freigesetzt wurde. Plutonium-241 zerfällt exponentiell, d. h. in jedem Jahr nimmt die Masse des vorhandenen Plutonium-241 um einen konstanten prozentualen Anteil ab.

Im Folgenden wird der Zerfall einer bestimmten Menge Plutonium-241 betrachtet. Dieser Zerfall wird durch die Funktion $p$ mit $p(x) = 200 \cdot e^{-0{,}0480x}$ und $x \in \mathbb{R}_0^+$ beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Jahren, die seit dem Reaktorunfall vergangen ist, und $p(x)$ die Masse des verbliebenen Plutonium-241 in Milligramm.

a)

Geben Sie die Bedeutung des Faktors $200$ im Sachzusammenhang an und berechnen Sie den prozentualen Anteil, um den die Masse des Plutonium-241 in jedem Jahr abnimmt.

%

b)

Bestimmen Sie das Jahr, in dessen Verlauf erstmals weniger als ein Milligramm des Plutonium-241 vorhanden sein wird.

Bei dem Zerfall des Plutonium-241 entsteht radioaktives Americium-241, das ebenfalls exponentiell zerfällt. Im verwendeten Modell gibt die Funktion $a$ mit $a(x) = 207 \cdot (1 - e^{-0{,}0464x}) \cdot e^{-0{,}0016x}$ für jedes Jahr die Masse des vorhandenen Americium-241 in Milligramm an.

c)

Der Graph von $a$ kann für einen Wert von $k$ aus dem Graphen der Funktion $h_k$ aus Aufgabe 2 erzeugt werden, indem man diesen in $x$-Richtung und in $y$-Richtung streckt. Geben Sie die beiden Streckungsfaktoren an und bestimmen Sie den passenden Wert von $k$.

d)

Im Funktionsterm von $a$ erfasst der Faktor $1 - e^{-0{,}0464x}$ die Zunahme der Masse des vorhandenen Americium-241 und der Faktor $e^{-0{,}0016x}$ den Zerfall des vorhandenen Americium-241. Begründen Sie, dass es einen Zeitpunkt gibt, zu dem beide Faktoren den gleichen Wert annehmen.

e)

Geben Sie die Bedeutung der Aussage $\frac{a(73)}{73} \approx 2{,}4$ im Sachzusammenhang an. Begründen Sie Ihre Angabe.