Aufgabe 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

Das Logo des Geschäfts soll verändert werden. Für die obere Begrenzungslinie des Fischs wird weiterhin die Funktion $v$ verwendet. Die untere Begrenzungslinie jedoch soll anstelle von $u$ mithilfe einer anderen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $u_k: x \mapsto \frac{1}{8}k \cdot x^3$ mit $k > 0$ beschrieben werden. Der gemeinsame Punkt der Graphen von $u_k$ und $v$, der die x-Koordinate $\frac{8}{k+2}$ hat, stellt die Kopfspitze dar.

a

Zeigen Sie, dass die Graphen von $u$ und $v$ nur die Punkte $P(0 \mid 0)$ und $Q\left(\frac{8}{3} \,\middle|\, \frac{64}{27}\right)$ gemeinsam haben.

[3 BE]