Aufgabe 2 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2020

In einem Koordinatensystem wird der abgebildete Körper $ABCDEF$ mit $A(0|10|1)$, $B(10|20|1)$, $C(0|20|1)$, $D(0|7|0)$ und $F(0|20|0)$ betrachtet. Die beiden Seitenflächen $ACFD$ und $BEFC$ stehen senkrecht zur $x_1x_2$-Ebene.

Der Körper $ABCDEF$ stellt modellhaft ein Podest dar, das auf der Bühne eines Theaters steht, das Viereck $ADEB$ die Vorderseite des Podests und der Punkt $D$ deren untere linke Ecke. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den horizontalen Boden der Bühne. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

a)

$A$, $B$ und $D$ liegen in der Ebene $H$. Bestimmen Sie eine Gleichung von $H$ in Koordinatenform.

(zur Kontrolle: $x_1 - x_2 + 3x_3 + 7 = 0$)

b)

Begründen Sie, dass die Gerade $i: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\lambda \in \mathbb{R}$ sowohl in der $x_1x_2$-Ebene als auch in der Ebene $H$ liegt.