Aufgabe 1 - Geraden und Ebenen · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2020

Gegeben sind der Punkt $L\left(-\frac{25}{4} \mid -8 \mid 6\right)$ und die Gerade $g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} + a \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \; a \in \mathbb{R}$.

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E: 3x_2 + 4x_3 = 0$.

In der Abbildung ist neben $L$ und $g$ das Viereck $OPQR$ dargestellt, dessen Eckpunkte $O(0 \mid 0 \mid 0)$, $P\left(-\frac{25}{2} \mid 0 \mid 0\right)$, $Q\left(-\frac{25}{2} \mid -12 \mid 9\right)$ und $R(0 \mid -12 \mid 9)$ in $E$ liegen. $Q$ und $R$ liegen außerdem auf $g$.

Das Viereck $OPQR$ stellt modellhaft den geneigten Teil einer Minigolfbahn dar, der Punkt $L$ das Loch dieser Bahn. Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die $x_1x_2$-Ebene den horizontalen Untergrund; eine Längeneinheit entspricht $10\text{ cm}$ in der Realität.

Im Folgenden wird der in der Abbildung gestrichelt dargestellte Teil des Wegs eines Minigolfballs betrachtet. Der Ball soll im Folgenden als punktförmig angenommen werden. Seine Positionen auf dem dargestellten Teil des Wegs können durch Punkte $B_k\left(-5-3k \mid -8k + \frac{8}{3}k^2 \mid 6k - 2k^2\right)$ mit geeigneten Werten von $k \in \mathbb{R}$ beschrieben werden.

a)

Begründen Sie, dass $g$ parallel zur $x_1$-Achse und dabei nicht durch $L$ verläuft. [2 BE]

b)

$L$ und $g$ liegen in der Ebene $E$. Ermitteln Sie eine Gleichung von $E$ in Koordinatenform. [4 BE]

(zur Kontrolle: $3x_2 + 4x_3 = 0$)

g)

Weisen Sie nach, dass der Ball auf dem betrachteten Teil seines Wegs durchgehend Kontakt zur Minigolfbahn hat. [2 BE]

h)

Berechnen Sie im Modell die Koordinaten des Punkts, in dem der Ball auf die seitliche Begrenzung der Minigolfbahn trifft. [4 BE]