Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2020

Unter den Dreiecken $RST_\lambda$ hat eines den kleinsten Flächeninhalt. Begründen Sie, dass der zugehörige Wert von $\lambda$ die Lösung der folgenden Gleichung ist: $$\begin{pmatrix} -1 - \lambda \\ 0 \\ -4 + 3\lambda \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 0$$

Lösung: Die Dreiecke $RST_\lambda$ sind gleichschenklig mit der Basis $\overline{RS}$. Bezeichnet man den Mittelpunkt $(-1|3|3)$ von $\overline{RS}$ mit $M$, so ist ihr Flächeninhalt $\frac{1}{2} \cdot |\overline{RS}| \cdot |\vec{MT_\lambda}|$. Dieser ist genau dann am kleinsten, wenn $|\vec{MT_\lambda}|$ am kleinsten ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn $\vec{MT_\lambda}$ senkrecht zu $t$ steht, also $\vec{MT_\lambda}$ senkrecht zum Richtungsvektor von $t$.