Aufgabe CAS 2 · 2 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 50 \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t} + 99}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in Metern. Der Graph von $h$ ist punktsymmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W$.

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Im betrachteten Modell lässt sich die zeitliche Entwicklung der Höhe der Fichten für die ersten 20 Jahre ab der Pflanzung näherungsweise durch die Funktion $n_1$ mit $n_1(t) = \frac{1}{2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{10}t}$ beschreiben. Gegeben sind zudem die folgenden Funktionsterme:

$$n_2(t) = n_1(t + 10 \cdot \ln 99) - 25$$ $$n_3(t) = -n_2(-t)$$ $$n_4(t) = n_3(t - 10 \cdot \ln 99) + 25$$

Begründen Sie, dass der Graph von $n_4$ zum Graphen von $n_1$ bezüglich des Punkts $W$ symmetrisch ist. Geben Sie die Bedeutung von $n_4$ im Sachzusammenhang an und begründen Sie Ihre Angabe.