Aufgabe 2 - 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Die Abbildung 1 zeigt den Graphen einer in $\mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktion $f$ vierten Grades. Die Tangente im Wendepunkt $W(4|18)$ des Graphen hat die Steigung $-4$.

a)

Zeichnen Sie die beschriebene Tangente in die Abbildung 1 ein und geben Sie die beiden Nullstellen der ersten Ableitungsfunktion $f'$ von $f$ an.

[3 BE]

$x_1 =$

$x_2 =$

b)

Der Graph von $f'$ hat einen Tiefpunkt. Geben Sie die Koordinaten dieses Tiefpunkts an und begründen Sie Ihre Angabe.

[3 BE]

$T($

$|$

$)$

c)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Für jede Stammfunktion $F$ von $f$ gilt $F(x + 2) > F(x) + 20$ für jeden Wert von $x \in [0; 5]$.

[3 BE]