Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Analysis 2020

Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f \colon x \mapsto \sin x$ und $g \colon x \mapsto x$. Die Graphen von $f$ und $g$ haben in ihrem einzigen gemeinsamen Punkt $O(0|0)$ die gleiche Steigung.

1 Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion $f$ mit $f(x) = x\cdot e^{-x}$ und $x \in \mathbb{R}$. Betrachtet werden die Dreiecke mit den Eckpunkten $O(0\mid 0)$, $P(a\mid 0)$ und $Q(a\mid f(a))$ mit $a \in \mathbb{R}^+$.

a

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt jedes dieser Dreiecke mit dem Term $\frac{1}{2}a^2 e^{-a}$ bestimmt werden kann. [2 BE]

b

Unter den betrachteten Dreiecken hat eines den größten Flächeninhalt. Bestimmen Sie den zugehörigen Wert von $a$. [3 BE]

$a =$