Aufgabe CAS 2 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Im Oktober des Jahres 2000 wurden auf einer Waldfläche Fichten gepflanzt. Alle Fichten hatten zum Zeitpunkt der Pflanzung eine Höhe von $50\text{ cm}$.

Betrachtet wird die Rate des Höhenwachstums der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit. Diese Wachstumsrate wird für $t \ge 0$ modellhaft durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $$w(t) = 60 \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{3000}(t-40)^2}$$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $w(t)$ die Wachstumsrate in Zentimeter pro Jahr $\left(\frac{\text{cm}}{\text{a}}\right)$. Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $t \ge 0$.

b)

Begründen Sie die folgende Aussage:

Innerhalb der ersten 80 Jahre nach der Pflanzung sind für zwei beliebige Zeitpunkte, die den gleichen zeitlichen Abstand vom Oktober des Jahres 2040 haben, die zugehörigen Wachstumsraten gleich groß.

c)

Zu einer bestimmten Wachstumsrate ist der Zeitraum, in dem diese Wachstumsrate nicht unterschritten wird, genau 30 Jahre lang. Geben Sie diesen Zeitraum an und bestimmen Sie den Wert der Wachstumsrate. Veranschaulichen Sie Ihr Ergebnis in der Abbildung.