Aufgabe CAS 1 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (CAS) (2020)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen vtv_t mit

vt(x)=(xt)2⋅(x−t)2+1undt∈R+.v_t(x) = \left(\frac{x}{t}\right)^2 \cdot (x - t)^2 + 1 \quad \text{und} \quad t \in \mathbb{R}^+.

a

Nennen Sie drei Eigenschaften, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

[3 BE]

Betrachtet wird die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=v8(x)4f(x) = \sqrt[4]{v_8(x)}.

f

Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:

[6 BE]

g

Es gilt lim⁡x→+∞((24x−2)−f(x))=0\lim_{x \to +\infty} \left(\left(\frac{\sqrt{2}}{4}x - \sqrt{2}\right) - f(x)\right) = 0. Beschreiben Sie die grafische Bedeutung dieser Aussage.

[2 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe CAS 1 · 1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Lösung

Lösung von AprenAI (nicht die offizielle)

a Nennen Sie drei Eigenschaften, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Lösung: Mögliche Eigenschaften (drei davon genügen): - Alle Graphen verlaufen vollständig oberhalb der x-Achse bzw. haben keine Nullstellen (y≥1>0y \ge 1 > 0 für alle x∈Rx \in \mathbb{R}). - Alle Graphen besitzen genau drei Extrempunkte (zwei Tiefpunkte mit dem y-Wert 11 und einen Hochpunkt). - Die Tiefpunkte haben immer die y-Koordinate 11 (bei x=0x = 0 und x=tx = t). - Die Graphen sind achsensymmetrisch bezüglich einer Parallele zur y-Achse (nämlich zur Geraden x=t2x = \frac{t}{2}). - Alle Graphen schneiden die y-Achse im Punkt (0∣1)(0|1).

f Aussage 1: «Für keinen Wert von x ist der Funktionswert von f größer als der von v_8.»

Lösung: Die Aussage ist richtig.

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