Aufgabe CAS 2 · 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

In einem anderen Modell wird die Höhe der Fichten in Abhängigkeit von der Zeit mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h: t \mapsto 50 \cdot \frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t}}{\mathrm{e}^{\frac{1}{10}t} + 99}$ beschrieben. Dabei ist $t$ die seit der Pflanzung vergangene Zeit in Jahren und $h(t)$ die Höhe in Metern. Der Graph von $h$ ist punktsymmetrisch bezüglich seines Wendepunkts $W$.

a

Bestimmen Sie die Koordinaten von $W$. (zur Kontrolle: $W(10\cdot\ln 99 \mid 25)$)

b

Eine Zeitschrift aus dem Jahr 1911 enthält folgenden Textabschnitt:

«Von unseren einheimischen Bäumen steht die Fichte hinsichtlich ihres Höhenwachstums obenan, und zwar mit 37 Zentimeter durchschnittlich im Jahre. Doch sind von Forstbeamten Ausnahmen beobachtet worden, in denen Fichten in einem Jahre bis zu 150 Zentimeter ihrer Länge zusetzten.»

(Quelle: Walther Kabel: Wachstumsgeschwindigkeit bei Pflanzen. In: Das Buch für Alle. Jahrgang 1911, Heft 1, Union Deutsche Verlagsgesellschaft. Stuttgart 1911, S. 23.)

Stellen Sie die durch die Funktion $h$ bestimmte maximale Wachstumsgeschwindigkeit in einen Zusammenhang mit den Angaben dieses Textabschnitts.

c

Das Höhenwachstum der Fichten kann für den Zeitraum von Oktober 2040 bis Oktober 2050 näherungsweise durch die Tangente an den Graphen von $h$ im Punkt $W$ beschrieben werden. Berechnen Sie die maximale prozentuale Abweichung im Vergleich zur Beschreibung mithilfe von $h$.

%