Abitur NRW Mathematik 2020 · LK · Teil A · Stochastik

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.

Gegeben sind die binomialverteilten Zufallsgrößen $X$ und $Y$. $X$ hat die Parameter $n = 40$ und $p_X = 0{,}65$.

a

Geben Sie einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(X = 30)$ berechnet werden kann. [1 BE]

b

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$.

Für einen Wert von $k$ stellen die grau markierten Säulen die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(X \le k)$ dar. Ermitteln Sie diesen Wert von $k$. [2 BE]

c

Die Zufallsgröße $Y$ hat ebenfalls den Parameter $n = 40$. Geben Sie alle Werte von $p_Y$ mit $0 < p_Y < 1$ an, für die die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(Y = 10)$ größer ist als die Wahrscheinlichkeit $\mathrm{P}(Y = 30)$. [2 BE]

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.

Für ein Spiel werden ein Tetraeder und ein Würfel verwendet. Die Seiten des Tetraeders sind mit den Zahlen 1 bis 4 durchnummeriert, die des Würfels mit den Zahlen 1 bis 6. Ebenso wie beim Werfen des Würfels werden beim Werfen des Tetraeders alle Zahlen mit gleicher Wahrscheinlichkeit erzielt.

Zu Beginn des Spiels wird ein Einsatz von 5 Euro geleistet. Anschließend wird das Tetraeder einmal geworfen. Wird dabei die Zahl 3 erzielt, wird das Tetraeder ein weiteres Mal geworfen, andernfalls einmal der Würfel. Nur dann, wenn bei genau einem der beiden Würfe die Zahl 3 erzielt wird, erfolgt eine Auszahlung.

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Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei einmaliger Durchführung des Spiels mindestens einmal die Zahl 3 zu erzielen, $\frac{3}{8}$ beträgt.

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Bei vielfacher Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich Einsätze und Auszahlungen mit der Zeit ausgleichen. Ermitteln Sie die Höhe der Auszahlung.

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.

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Der Würfel wird zweimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden geworfenen Zahlen 4 ist.

Die Abbildung zeigt das Netz eines Würfels.

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Die Zahlen „1“ und „3“ werden jeweils durch eine neue Zahl ersetzt. Das Verhältnis der beiden neuen Zahlen ist ebenfalls $1: 3$. Betrachtet man bei einmaligem Werfen des geänderten Würfels die geworfene Zahl, so ist der zugehörige Erwartungswert 4. Ermitteln Sie die beiden neuen Zahlen.

a

Eine Urne enthält einhundert Kugeln, davon sind zwanzig weiß. Zwei Kugeln werden nacheinander zufällig gezogen; dabei wird die erste gezogene Kugel nicht zurückgelegt, bevor man die zweite zieht. Geben Sie in diesem Zusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch den Term $\frac{20}{100} \cdot \frac{19}{99}$ angegeben wird.

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Eine andere Urne enthält ebenfalls einhundert Kugeln; für die Anzahl $w$ der enthaltenen weißen Kugeln gilt $1 < w < 99$. Auch aus dieser Urne werden zwei Kugeln nacheinander zufällig gezogen. Die erste gezogene Kugel ist weiß. Betrachtet werden zwei Fälle:

1. Fall: Die erste gezogene Kugel wird nicht zurückgelegt, bevor man die zweite zieht.

2. Fall: Die erste gezogene Kugel wird zurückgelegt, bevor man die zweite zieht.

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass auch die zweite gezogene Kugel weiß ist, beträgt im 1. Fall $p$, im 2. Fall ist sie $2\,\%$ von $p$ größer. Berechnen Sie den Wert von $w$.

Eine Gärtnerei, die Tulpen in den Farben Gelb, Orange und Rot züchtet, stellt Sträuße mit jeweils 15 Tulpen zusammen.

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Einer der Sträuße soll Tulpen in zwei verschieden Farben enthalten. Die Anzahl der Möglichkeiten, diesen Strauß zusammenzustellen, kann mit dem Term $\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 14$ berechnet werden. Beschreiben Sie für jeden der beiden Faktoren die Bedeutung im Sachzusammenhang.

b)

In einem der Sträuße sollen zu jeder der drei Farben mindestens vier und höchstens sechs Tulpen enthalten sein. Bestimmen Sie die Anzahl der Möglichkeiten, diesen Strauß zusammenzustellen.