Aufgabe 1 (a, b, d, e, f) - Metrische Eigenschaft… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analytische Geometrie (CAS 2020

Betrachtet wird der abgebildete Würfel mit $A(0|0|0)$, $B(3|-3|3)$, $G(0|0|9)$ und $H(-3|3|6)$.

a)

Berechnen Sie das Volumen des Würfels.

b)

Begründen Sie, dass das Viereck $ABGH$ ein Rechteck ist. Zeichnen Sie das Rechteck in die Abbildung ein und geben Sie die Koordinaten des Schnittpunkts seiner Diagonalen an.

$S($ $|$ $|$ $)$

d)

Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die Ebene $L: x + y = 0$ mit der $xz$-Ebene einschließt.

°

e)

Betrachtet wird der Term $\vec{AM} + \frac{1}{2} \cdot |\vec{BG}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, wobei $M$ der Mittelpunkt von $\overline{BG}$ ist.

Geben Sie die Bedeutung des Terms im Zusammenhang mit dem Würfel an und begründen Sie Ihre Angabe.

f)

Die Ebene, die durch die Mittelpunkte der Kanten $\overline{BC}$, $\overline{CG}$, $\overline{AD}$ und $\overline{DH}$ verläuft, teilt den Würfel in zwei Teilkörper. Begründen Sie mithilfe einer Skizze, dass das Volumen des kleineren Teilkörpers ein Achtel des Volumens des Würfels ist.