Aufgabe 2 - Längen, Winkel und Abstände im Raum · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analytische Geometrie (WTR 2020

In einem Koordinatensystem wird der abgebildete Körper $ABCDEF$ mit $A(0|10|1)$, $B(10|20|1)$, $C(0|20|1)$, $D(0|7|0)$ und $F(0|20|0)$ betrachtet. Die beiden Seitenflächen $ACFD$ und $BEFC$ stehen senkrecht zur $x_1x_2$-Ebene.

Der Körper $ABCDEF$ stellt modellhaft ein Podest dar, das auf der Bühne eines Theaters steht, das Viereck $ADEB$ die Vorderseite des Podests und der Punkt $D$ deren untere linke Ecke. Die $x_1x_2$-Ebene beschreibt den horizontalen Boden der Bühne. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.

1.c)

Der Punkt $E$ liegt auf $i$, wobei der Abstand von $E$ zu $F$ ebenso groß ist wie der Abstand von $D$ zu $F$. Ermitteln Sie die Koordinaten von $E$.

$E($

$|$

$|$

$)$

1.d)

Begründen Sie ohne zu rechnen, dass die Vierecke $ACFD$ und $BEFC$ den gleichen Flächeninhalt haben.

2.a)

Zeigen Sie, dass die Deckfläche des Podests rechtwinklig ist, und berechnen Sie deren Flächeninhalt.

2.b)

Die Position eines Scheinwerfers kann im Modell durch den Punkt $(5|-3|z)$ dargestellt werden. Vom Scheinwerfer ausgehendes Licht trifft an der unteren linken Ecke der Vorderseite des Podests unter einem Winkel der Größe $47^\circ$ auf den Boden auf. Ermitteln Sie die Höhe des Scheinwerfers über dem Boden der Bühne.

2.c)

Die Position eines zweiten Scheinwerfers lässt sich im Modell durch den Punkt $P(2|4|8)$ beschreiben. Die Gerade mit der Gleichung $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 10 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $\mu \in \mathbb{R}$ schneidet die Ebene mit der Gleichung $\left[\vec{x} - \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix}\right] \circ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = 0$ im Punkt $Q(-2|8|1)$. Es gilt $|\overline{PQ}| = 9$.

Treffen Sie auf der Grundlage dieser Informationen eine Aussage über den Abstand des zweiten Scheinwerfers von der Vorderkante der Deckfläche des Podests. Begründen Sie Ihre Aussage ohne zu rechnen.