Abitur NRW Mathematik 2020 · LK · Teil B · Stochastik (CAS)

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

1 Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück auch mehrfach abgespielt werden kann.

a)

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten drei abgespielten Stücke verschieden sind.

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

1 Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück auch mehrfach abgespielt werden kann.

b)

Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich unter zwölf abgespielten Stücken

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

1 Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück auch mehrfach abgespielt werden kann.

2 Als die CDs vor der Jubiläumsfeier geliefert wurden, entdeckten die Mitglieder der Bigband unter den ersten 20 betrachteten CDs ein Exemplar mit fehlerhafter Hülle und befürchteten, dass mindestens 5 % aller Hüllen fehlerhaft sind. Sie planten deshalb die Durchführung eines Signifikanztests mit einem Signifikanzniveau von 10 % und der Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Hüllen ist kleiner als 5 %.“ Sollte das Ergebnis des Tests dafür sprechen, dass die Befürchtung zutrifft, wollten sie beim Hersteller einen Preisnachlass verlangen.

a)

Geben Sie eine Überlegung an, die zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.

[3 BE]

b)

Dem Test wurde eine Stichprobe von 150 CDs zugrunde gelegt. Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

[5 BE]

Mindestens

fehlerhafte Hüllen.

c)

Angenommen, der beschriebene Test wird auf der Grundlage einer Stichprobe von 250 CDs durchgeführt. In diesem Fall wird die Nullhypothese abgelehnt, wenn mindestens 18 Hüllen fehlerhaft sind. Ermitteln Sie den Bereich, in dem der tatsächliche Anteil fehlerhafter Hüllen liegen müsste, damit die Wahrscheinlichkeit für den Fehler zweiter Art kleiner als 25 % ist.

[4 BE]

Die Bigband einer Schule nimmt anlässlich des 50-jährigen Jubiläums der Schule eine CD mit zehn Musikstücken auf; vier dieser Stücke sind kurz, sechs lang. Diese CD wird in großer Anzahl hergestellt.

1 Bei der Jubiläumsfeier werden von einer dieser CDs in zufälliger Reihenfolge Stücke abgespielt, wobei jedes Stück auch mehrfach abgespielt werden kann.

3 Bei der Jubiläumsfeier können die CDs sowohl zu einem Preis von 9 Euro pro Stück gekauft als auch bei einem Spiel gewonnen werden. Für das Spiel wird ein Glücksrad mit einem grauen und einem weißen Sektor verwendet (vgl. Abbildung). Für einen Einsatz von einem Euro wird das Glücksrad dreimal gedreht. Nur wenn dabei genau zweimal der grau markierte Sektor getroffen wird, erhält man eine CD. Die Größe des Öffnungswinkels des grauen Sektors im Bogenmaß wird mit $b$ bezeichnet.

a)

Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, bei diesem Spiel eine CD zu gewinnen, mithilfe des Terms $\frac{3}{4\pi^2}b^2 - \frac{3}{8\pi^3}b^3$ berechnet werden kann. [3 BE]

b)

Es gibt Werte von $b$, für die die Bigband bei vielfacher Durchführung des Spiels im Mittel pro CD die gleichen Einnahmen erwarten könnte wie beim Verkauf der CD. Ermitteln Sie diese Werte von $b$. [4 BE]

Betrachtet werden Bauteile der Kategorien A und B, die jeweils elektrische Widerstände enthalten. Es gilt:

Ein Bauteil der Kategorie A ist funktionstüchtig, wenn alle enthaltenen Widerstände funktionstüchtig sind.

Ein Bauteil der Kategorie B ist funktionstüchtig, wenn mindestens einer der enthaltenen Widerstände funktionstüchtig ist.

Zunächst soll davon ausgegangen werden, dass jeder Widerstand mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % funktionstüchtig ist.

a)

Ermitteln Sie mithilfe eines Baumdiagramms oder einer Vierfeldertafel die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

$E_1$: „Ein Bauteil der Kategorie A, das zwei Widerstände enthält, ist funktionstüchtig.“

$E_2$: „Ein Bauteil der Kategorie B, das zwei Widerstände enthält, ist funktionstüchtig.“

b)

Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Je mehr Widerstände ein Bauteil der Kategorie A enthält, desto kleiner ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es funktionstüchtig ist.

c)

Betrachtet wird ein Bauteil der Kategorie B, das zwei Widerstände enthält. Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dieses Bauteil funktionstüchtig ist, durch den Term $2p - p^2$ angegeben wird.

d)

Betrachtet werden zehn Bauteile der Kategorie B, die jeweils zwei Widerstände enthalten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Bauteile alle funktionstüchtig sind, beträgt $95\,\%$. Bestimmen Sie den Wert von $p$.

e)

Betrachtet wird eine Kombination aus zwei Bestandteilen: einem einzelnen Widerstand und einem Bauteil der Kategorie A, das zwei Widerstände enthält. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kombination funktionstüchtig ist, wird durch den Term $1 - (1 - p) \cdot (1 - p^2)$ angegeben. Geben Sie die Abhängigkeit der Funktionstüchtigkeit dieser Kombination von der Funktionstüchtigkeit seiner beiden Bestandteile an. Begründen Sie Ihre Angabe.

Betrachtet werden Bauteile der Kategorien A und B, die jeweils elektrische Widerstände enthalten. Es gilt:

Ein Bauteil der Kategorie A ist funktionstüchtig, wenn alle enthaltenen Widerstände funktionstüchtig sind.

Ein Bauteil der Kategorie B ist funktionstüchtig, wenn mindestens einer der enthaltenen Widerstände funktionstüchtig ist.

Zunächst soll davon ausgegangen werden, dass jeder Widerstand mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % funktionstüchtig ist.

a)

In einer Stichprobe von 200 Widerständen sind 176 Widerstände funktionstüchtig. Berechnen Sie zu diesem Anteil das Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 %. Beschreiben Sie die Bedeutung dieses Konfidenzintervalls im Sachzusammenhang. [4 BE]

[

;

]

b)

Gegeben ist die folgende Näherungslösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang:

$$\begin{aligned} 2 \cdot 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{h(1-h)}{n}} &\le 0{,}05 \\[4pt] \sqrt{\frac{h(1-h)}{n}} &\le \sqrt{\frac{0{,}5^2}{n}} \quad \text{für alle } h \in [0; 1] \\[4pt] 2 \cdot 1{,}96 \cdot \sqrt{\frac{0{,}5^2}{n}} &\le 0{,}05 \quad \text{liefert } n \ge 1537 \end{aligned}$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und erläutern Sie die beiden ersten Zeilen des Lösungswegs. [4 BE]