Aufgabe 2 - 2 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Für jeden Wert von $k \in \mathbb{R}^+$ wird die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_k: x \mapsto 10 \cdot (1 - \mathrm{e}^{-kx}) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ betrachtet. Der Graph von $h_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet. Die Abbildung 2 zeigt $G_1$.

Für die erste Ableitungsfunktion $h_k'$ von $h_k$ gilt $h_k'(x) = 10 \cdot ((k + 1) \cdot \mathrm{e}^{-kx} - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

b)

Bestimmen Sie die $x$-Koordinate des Hochpunkts von $G_k$.

$x =$

c)

Betrachtet werden die Tangente an $G_k$ im Koordinatenursprung und die Gerade, die zu dieser Tangente im Koordinatenursprung senkrecht steht. Diese beiden Geraden schneiden die Gerade mit der Gleichung $y = 1$. Zeigen Sie rechnerisch, dass der Abstand der beiden Schnittpunkte $10k + \frac{1}{10k}$ ist.

d)

Betrachtet man den Abstand aus Teilaufgabe 2c für alle Werte von $k$, so ist dieser für einen Wert von $k$ am kleinsten. Bestimmen Sie diesen Wert und geben Sie den zugehörigen Abstand an.

$k =$

$d =$