Ejercicios de Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas

18 ejercicios de Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de La Rioja (PAU/EBAU) 2021-2026.

Pregunta 5.2 · Extraordinaria 2026

Determina los valores de a para que los planos dados se corten en un punto (y halla dicho punto) o se corten en una recta (y calcula su ecuación paramétrica).

Pregunta 5.1 · Ordinaria 2026

Puntos de un toldo A(3, 8, 17/2), B(4, 6, 37/4), C(2, 8, 8) y D(s, 16, 8): a) Halla la ecuación del plano que contiene al toldo. b) Calcula s para que sean coplanarios. c) Distancia de P(0,0,5) al toldo y comprobar si supera los 2 metros.

Pregunta 5.2 · Ordinaria 2026

Dadas las rectas r: x/2 = y - 3 = (z - 1)/(-2) y s: {x = -2λ, y = λ, z = 1 + λ}: a) Estudia la posición relativa de las dos rectas r y s. b) Determina la ecuación del plano que pasa por el punto P(1, 1, -1) y es paralelo a r y s.

Apartado 4.1 a) · Extraordinaria 2025

Dados cuatro planos que dependen del parámetro m, determina m para que se corten en un punto y halla dicho punto de corte.

Apartado 4.2 a) y b) · Extraordinaria 2025

Halla la ecuación del plano paralelo a otro dado que pasa por P(0,2,1), y la del plano perpendicular a una recta que pasa por P(1,0,-3).

Apartado 4.1 · Ordinaria 2025

4.1 a) Obtén el valor de m para el cual las rectas r y s se cortan. Calcula el punto de corte. b) Dados P = (0, 2, -1) y Q = (2, -2, 1), encuentra la ecuación del plano pi respecto al cual son simétricos.

Problema 7 · Extraordinaria 2024

Dados los cuatro planos ax + y + z = a^2; x - y + z = 1; 3x - y - z = 1; 6x - y + z = 3a, analiza según los valores del parámetro a su posición relativa.

Problema 8 · Extraordinaria 2024

Dado el punto P(2, -1, 3), halla las ecuaciones de los planos que contienen a P: (i) Paralelo a pi: 4x + 3y - 2z + 4 = 0; (ii) Perpendicular a la recta r: (x-3)/3 = y/2 = (z+2)/(-4).

Problema 7 · Ordinaria 2024

Determina los valores de a para que los planos pi1: x+y+z=a-1, pi2: 2x+y+az=a, pi3: x+ay+z=1 (i) se corten en un punto, (ii) se corten en una recta, (iii) no se corten.

Problema 8 · Extraordinaria 2023

Determina la posición relativa de los tres planos según los valores del parámetro m: mx + y + z = 1, x + my + z = m, x + y + mz = m^2.

Problema 7 · Ordinaria 2023

Determina la posición relativa de la recta (x - 3)/0 = (y + 1)/1 = (z - 5)/1 y el plano de ecuación 3x + 2y - 11z + 3 = 0.

Problema 7 · Extraordinaria 2022

Determina según los valores del parámetro real a la posición relativa de la recta r: { ax + 3y - 2z = 4, 2x - y + z = 2 } y el plano pi: 6x + 5y - 3z = 2.

Problema 8 · Extraordinaria 2022

Estudia según los valores del parámetro real a la posición relativa de las rectas: ax + 3y - 2z = 12, 2x + 5y - z = 6 y x = 5 + 3λ, y = 1 - λ, z = 6 + 4λ.

Problema 7 · Ordinaria 2022

Halla la ecuación de una recta paralela al plano π ≡ x + y + z = 0 y que contenga al punto P(1, 0, 1). ¿Es única dicha recta? Razona la respuesta.

Problema 8 · Ordinaria 2022

Determina los valores de los parámetros a y b para que el plano π ≡ ax + y + z = b contenga a la recta r dada por el sistema x + y + z = 1, -x - 2y + z = 0.

Problema 7 · Extraordinaria 2021

Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(1, 1, 1), es paralela al plano pi: x + y - 2z - 3 = 0 y es perpendicular a la recta r: (3 + lambda, 2 - lambda, 1 - 2lambda).

Problema 8 · Extraordinaria 2021

Calcular el valor del parámetro real a para que las rectas r y s se corten y calcular su punto de corte, dadas r por {4x + z = a, x + y = 2} y s por {x + y + z = 0, x + 2z = 2a}.

Problema 7 · Ordinaria 2021

Hallar la ecuación de una recta que pasa por P(0,1,1), está contenida en el plano pi: x + y + 3z - 4 = 0 y es perpendicular a la recta r: x = z + 3, y = -z + 4.

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