Problema 7 · Matemáticas II PAU La Rioja Extraordinaria 2024

Tema: Rectas y planos: ecuaciones y posiciones relativas · Del examen Extraordinaria (2024)

Enunciado

7.- (2 puntos) Dados los planos de ecuaciones:

{ax+y+z=a2,x−y+z=1,3x−y−z=1,6x−y+z=3a,\begin{cases} ax + y + z = a^2, \\ x - y + z = 1, \\ 3x - y - z = 1, \\ 6x - y + z = 3a, \end{cases}

analiza según los valores del parámetro aa su posición relativa.

a)

Valor de aa para el cual el determinante de la matriz ampliada 4×44 \times 4 es nulo:

b)

Para el valor crítico de aa hallado, ¿cuál es la posición relativa de los cuatro planos?

c)

Desarrollo del análisis de rangos y posiciones relativas:

Enunciado: Problema 7 · Matemáticas II PAU La Rioja Extraordinaria 2024

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Valor de a para el cual el determinante de la matriz ampliada es nulo

Solución: 1

Desarrollo del análisis de rangos y posiciones relativas

Solución: Si a = 1, rango(M) = rango(M') = 3, los 4 planos se cortan en un único punto. Si a diferente de 1, rango(M') = 4 y rango(M) = 3, el sistema es incompatible y los 4 planos no tienen ningún punto común.

Para a = 1, ¿cuál es la posición relativa de los cuatro planos?

Solución: A) Se cortan en un único punto

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