Ejercicios de Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos

20 ejercicios de Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos de Matemáticas II que han salido en la Selectividad de…

Problema 1 · Extraordinaria 2026

Es dóna una constel·lació artificial de satèl·lits A(1,2,3), B(3,2,1), C(5,4,3), D(2,1,1) i E(4,3,1) amb origen en el centre de la Terra O(0,0,0). Es demana determinar si A, B i C formen un pla orbital (coplanaris amb O) i donar les coordenades d'un punt F distint de l'origen perquè D, E i F formin un altre pla…

Problema 1 · Ordinaria 2026

Problema 1. Donades les posicions de tres micròfons penjant del sostre d'una sala d'altura 7 m: M1=(2,3,7-1)=(2,3,6), M2=(4,4,7-2)=(4,4,5), M3=(5,1,7-3)=(5,1,4). (a) Determina les coordenades dels tres micròfons i calcula l'equació del pla que els conté. (b) Calcula la projecció ortogonal del punt P(4,3,0) sobre el…

Problema A1 · Extraordinaria 2025

Problema de geometria en l'espai sobre un contenidor metàl·lic de dimensions 3m x 2m x 2.5m amb dues bigues diagonals en cares oposades. Es demana: (a) Escollir un sistema de referència i trobar les coordenades dels vèrtexs. (b) Calcular la longitud de les dues bigues i l'equació del pla que les conté. (c) Determinar…

Problema A1 · Ordinaria 2025

Problema de geometria a l'espai sobre la posició d'un dispositiu submarí, l'equació del pla de profunditat constant i la intersecció amb la trajectòria rectilínia d'un objecte.

Ejercicio P3 · Extraordinaria 2024

Siguin P = (-1, 1, 1), Q = (7, 1, 7) i R = (-4, 1, 5) punts de R³. (a) Demostra que formen un triangle rectangle indicant quin angle és recte. (b) Es podria construir un quadrat afegint un únic nou vèrtex? Justifica la resposta. (c) Prova que per a qualsevol a real, S = (a, 1, 0) és coplanari amb P, Q i R.

Ejercicio P4 · Extraordinaria 2024

Donades les rectes r i s, calcular (a) la seva posició relativa i si són perpendiculars, i (b) l'equació del pla paral·lel a ambdues rectes que passa pel punt A=(2,2,1).

Ejercicio P3 · Ordinaria 2024

Considerem els punts A = (0,0,0), B = (2,-1,3) i C = (-1,2,1). (a) Calcula el punt D tal que ABDC sigui un paral·lelogram. (b) Calcula un dels punts E de l'espai de tal manera que la recta AE sigui perpendicular al pla ABC i que la distància entre A i E sigui 1. (c) Escriu l'equació d'un dels plans paral·lels al pla…

Ejercicio P4 · Ordinaria 2024

P4. (a) [5 punts] Discuteix la posició relativa de pi_1: 3x+ay-z=1 i pi_2: 6x+y-2z=b segons a i b. (b) [5 punts] Troba la recta perpendicular a pi pel punt de tall entre pi i s.

Ejercicio P3 · Extraordinaria 2023

P3. Siguin els punts A = (1, 2, 0), B = (-1, 0, 1), C = (0, 0, 1) i D = (3, 1, 2). (a) [4 punts] Determina la recta r que passa per D i és perpendicular al pla que conté els punts A, B i C. (b) [4 punts] Determina si els punts A, B, C i D són coplanaris o no. (c) [2 punts] És D el punt de tall de la recta amb el pla…

Ejercicio P4 · Extraordinaria 2023

P4. Sigui el pla pi: 3x + y + z = 2 i els punts P = (0, 1, 1) i Q = (2, -1, -3). (a) [2 punts] Són P i Q punts del pla pi? Justifica la resposta. (b) [4 punts] Calcula el punt S situat sobre la recta PQ que es troba a 3/4 parts de P i a 1/4 part de Q. (c) [4 punts] Determina l'equació implícita (també anomenada…

Ejercicio P3 · Ordinaria 2023

P3. Considera el pla π: 2x + 3y + z - 6 = 0. (a) Determina els vèrtexs del triangle que ve determinat per la intersecció del pla amb els eixos de coordenades. (b) Calcula l'àrea del triangle anterior. (c) Sigui A el vèrtex del triangle sobre l'eix d'abscisses (eix OX). Calcula la recta perpendicular al pla que passa…

Ejercicio P4 · Ordinaria 2023

Sigui el pla π: x + ay - 2z = 3 i la recta r: x + bz = 1, y = 0 amb a, b constants reals no nul·les. (a) Per a quins a, b la recta r és perpendicular al pla π? Calcula el punt de tall i la distància de r a π. (b) Per a quins valors és r paral·lela a π? (c) Existeixen valors per als quals r està continguda en π?

Problema 5 · Extraordinaria 2022

Considerau el pla pi = 3x - 2y - z = 4, el punt P(1, 1, 0) i la recta r: x - y = 0, x - az = 1. Obteniu el paràmetre a per al qual: P pertany a r; r i pi es tallen en un únic punt; r està continguda en pi; r és perpendicular a pi.

Problema 6 · Extraordinaria 2022

Donats A(1, 1, 1), B(0, 0, -2), C(2, -1, 0), D(-1, 2, -1) i E(0, 0, 0). Comprovau que A, B i C determinen un únic pla; si el triangle ABC és rectangle en A; trobau l'angle recta AD amb pi; calculau el volum del tetraedre definit per AB, AC i AD.

Problema 5 · Ordinaria 2022

Del paral·lelogram ABCD es coneixen A(1, 0, -1), B(2, 1, 0) i C(4, 3, -2). a) Cosinus de l'angle entre AB i AC. b) Coordenades del punt mitjà M de AC. c) Coordenades del vèrtex D. d) Àrea del paral·lelogram ABCD.

Problema 6 · Ordinaria 2022

Donades les rectes r (determinada per x+y=3, 2x-z=1) i s (en forma paramètrica): a) Equació vectorial de r. b) Posició relativa de r i s. c) Equació general del pla perpendicular a r per P(2, 0, -1). d) Equació general del pla paral·lel a r que conté s.

Problema 5 · Extraordinaria 2021

Donades dues rectes a l'espai en equacions implícites: calcular les equacions vectorials de cadascuna, el pla paral·lel a la segona que conté la primera, el pla perpendicular a la segona per un punt donat, i la recta perpendicular a ambdues per l'origen.

Problema 6 · Extraordinaria 2021

Donats els punts P=(1,0,1), Q=(1,1,0) i R=(0,1,1). (a) Comprova que P, Q i R no estan alineats. (b) Calcula l'equació vectorial del pla que determinen. (c) Calcula l'àrea del triangle que té per vèrtexs P, Q i R. (d) Condició sobre a, b, c perquè P, Q, R i S=(a,b,c) pertanyin al mateix pla.

Problema 5 · Ordinaria 2021

Considera els punts A = (5, a, 7), B = (3, -1, 7), C = (6, 5, 4). (a) Determina el valor del paràmetre a per al qual els punts A, B i C formen un triangle rectangle, amb l'angle recte al punt B. (b) Per al valor de a = -2, calcula l'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C. (c) Per al valor de a = 5, calcula l'angle…

Problema 6 · Ordinaria 2021

Donades les rectes r : (x - m)/(-1) = (y + 10)/4 = (z + 3)/1 i s : { x = 1, y = 6 + 4λ, z = -1 + 2λ }: a) Calcula el valor de m per tal que es tallin en un punt. b) Calcula el punt de tall.

Otros temas de Matemáticas II

Análisis

Álgebra

Probabilidad y estadística