Problema 6 · Matemáticas II PAU Baleares Extraordinaria 2021

(a) Comprova que P, Q i R no estan alineats.

Solución: Els vectors $\vec{PQ} = (0, 1, -1)$ i $\vec{PR} = (-1, 1, 0)$ no són proporcionals, per tant $\operatorname{rang}(\vec{PQ}, \vec{PR}) = 2$.

(b) Calcula l'equació vectorial del pla que determinen P, Q i R.

Solución: $(x, y, z) = (1, 0, 1) + \lambda(0, 1, -1) + \mu(-1, 1, 0)$ amb $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$

(c) Calcula l'àrea del triangle que té per vèrtexs P, Q i R.

Solución: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(d) Condició sobre a, b i c perquè P, Q, R i S = (a, b, c) pertanyin a un mateix pla.

Solución: $a + b + c - 2 = 0$

(d) Raonament de la condició de coplanarietat dels punts P, Q, R i S.

Solución: L'equació implícita del pla determinat per $P, Q, R$ amb vector normal $(1, 1, 1)$ passant per $(1, 0, 1)$ és $x + y + z - 2 = 0$. Perquè $S=(a, b, c)$ hi pertanyi, ha de complir $a + b + c - 2 = 0$. Equivalentment, el determinant $\det(\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}) = 0$.