Problema 6 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2022

Tema: Geometría en el espacio: rectas, planos, posiciones relativas y problemas métricos · Del examen Ordinaria (2022)

Enunciado

Donades les rectes:r≡{x+y=3,2x−z=1,s≡{x=1+λ,y=−λ,z=−4−λ,λ∈R.r \equiv \begin{cases} x + y = 3, \\ 2x - z = 1, \end{cases} \qquad s \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda, \\ y = -\lambda, \\ z = -4 - \lambda, \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}.

a)

Calculau una equació vectorial per a la recta rr. [2 punts]

b)

Calculau la posició relativa de les rectes rr i ss. [3 punts]

c)

Calculau l'equació general del pla perpendicular a la recta rr que passa pel punt P(2,0,−1)P(2, 0, -1). [2 punts]

d)

Calculau l'equació general del pla paral·lel a la recta rr que conté a la recta ss. [3 punts]

Enunciado: Problema 6 · Matemáticas II PAU Baleares Ordinaria 2022

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

(a) Calculau una equació vectorial per a la recta r.

Solución: (x, y, z) = (0, 3, -1) + \lambda(1, -1, 2)

(b) Calculau la posició relativa de les rectes r i s.

Solución: Es creuen

(b) Justificació breu del càlcul / rangs.

Solución: rang(vr, vs, PrPs) = 3 ja que el determinant val -6 != 0, per tant les rectes es creuen.

(c) Calculau l'equació general del pla perpendicular a la recta r que passa pel punt P(2, 0, -1).

Solución: x - y + 2z = 0

(d) Calculau l'equació general del pla paral·lel a la recta r que conté a la recta s.

Solución: x + y - 1 = 0 / 3x + 3y - 3 = 0

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