Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2024

Ein Unternehmen bietet in einer Stadt insgesamt 900 E-Scooter zum Ausleihen an. Das Stadtgebiet wurde in drei Bereiche A, B und C aufgeteilt. Die Nutzung der E-Scooter ist nur in diesen Bereichen möglich. Die Verteilung der E-Scooter im Stadtgebiet kann durch Vektoren $\vec{v}_n$ der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ beschrieben werden, wobei $a$, $b$ und $c$ die Anzahlen der E-Scooter in den Bereichen A, B bzw. C sind. Die Entwicklung der Verteilung vom Ende eines Tages $n$ zum Ende des nächsten Tages wird modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 0{,}2 & 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}6 \end{pmatrix}$ und $n \geq 0$ beschrieben. Hierbei bezeichnet $\vec{v}_0$ die Verteilung der E-Scooter zu Beginn der Beobachtung.

a

Stellen Sie die Entwicklung der Verteilung der E-Scooter vom Ende eines Tages bis zum Ende des nächsten Tages in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

b

Es gilt $M \cdot \begin{pmatrix} 300 \\ 200 \\ 400 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$. Berechnen Sie den Wert von $b$ und geben Sie seine Bedeutung im Sachzusammenhang an. [2 BE]

c

Am Ende eines Tages befindet sich ein Drittel der E-Scooter im Bereich A. Ermitteln Sie, wie viele E-Scooter mindestens und wie viele E-Scooter höchstens am Ende des nächsten Tags im Bereich A zu erwarten sind. [4 BE]

d

In einer bestimmten Woche werden am Ende des Dienstags $20\,\%$ der E-Scooter, die sich im Bereich C befinden, zu Wartungszwecken entnommen und nach 48 Stunden in den Bereich C zurückgebracht. Der Vektor $\vec{d}$ beschreibt die Verteilung der E-Scooter am Ende des Dienstags direkt vor der Entnahme.

Entscheiden Sie, welcher der folgenden drei Vektoren $\vec{f}$, $\vec{g}$ und $\vec{h}$ die Verteilung der E-Scooter am Ende des Freitags in der betrachteten Woche beschreibt. Erläutern Sie für die anderen beiden Vektoren jeweils ein mögliches Szenario im vorgegebenen Sachkontext. [5 BE]

$$\vec{f} = M \cdot M \cdot \left( M \cdot \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}2 \end{pmatrix} \cdot \vec{d} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}8 \end{pmatrix} \cdot \vec{d} \right)$$

$$\vec{g} = M \cdot \left( M \cdot M \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}8 \end{pmatrix} \cdot \vec{d} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0{,}2 \end{pmatrix} \cdot \vec{d} \right)$$

$$\vec{h} = M \cdot \left( M \cdot M \cdot (\vec{d} - 0{,}2 \cdot \vec{d}) + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 20 \end{pmatrix} \right)$$

Im Folgenden werden ausschließlich Vektoren betrachtet, die für den Vektor $\vec{v}_0$ infrage kommen. Die Vektoren, die die Verteilung der 900 E-Scooter beschreiben, lassen sich in einem Koordinatensystem auch geometrisch auffassen.

e

Entscheiden Sie, ob zwei der betrachteten Vektoren unterschiedliche Beträge haben können. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [2 BE]

f

Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen: [4 BE]

• Unter den betrachteten Vektoren gibt es zwei unterschiedliche, die einen Winkel der Größe $0^\circ$ einschließen.

• Unter den betrachteten Vektoren gibt es zwei, die einen Winkel der Größe $90^\circ$ einschließen.