Aufgabe 4 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere eines Wildtierbestands in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Die Entwicklung dieser weiblichen Tiere lässt sich in drei Lebensphasen einteilen: Nachkommen werden im Frÿhjahr geboren und im ersten Lebensjahr als Kitze sowie im Alter von einem Jahr als Jungtiere bezeichnet; Tiere ab einem Alter von zwei Jahren gelten als erwachsen.

In einem Modell werden Zusammensetzungen der Population durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} \text{K} \\ \text{J} \\ \text{E} \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $\text{K}$ die Anzahl der Kitze, $\text{J}$ die Anzahl der Jungtiere und $\text{E}$ die Anzahl der erwachsenen Tiere bezeichnet. Zu Beginn der Beobachtung der Population wird deren Zusammensetzung durch einen Vektor $\vec{v}_0$ dargestellt. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten Jahr lässt sich durch die Matrix

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}65 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$ und die Gleichung $R \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ beschreiben.

Um Schäden durch eine zu große Population zu vermeiden, untersucht eine Forschungsgruppe die Möglichkeit, den Tieren der Population ein Hormon zu verabreichen, das bei erwachsenen Tieren zu Unfruchtbarkeit führt. Obwohl dadurch bei den Jungtieren die Geburtenrate zunähme, bliebe durch diese Maßnahme die Anzahl der Tiere konstant. Ab dem Zeitpunkt der Verabreichung des Hormons ließe sich die Entwicklung der Population von einem Jahr zum nächsten Jahr im Modell durch die Matrix$$H = \begin{pmatrix} 0 & 1{,}25 & 0 \\ 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}65 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$beschreiben.

a)

Zeigen Sie, dass sich eine Population, deren Zusammensetzung durch den Vektor$$\vec{u_1} = \begin{pmatrix} 250 \\ 200 \\ 650 \end{pmatrix}$$dargestellt wird, im Modell von einem Jahr zum nächsten nicht verändert. [2 BE]

b)

Zum Zeitpunkt der Verabreichung des Hormons soll die Zusammensetzung der Population durch einen Vektor $\vec{w_0} = r \cdot \vec{u_1} + s \cdot \vec{u_2}$ dargestellt werden; dabei ist $\vec{u_1} = \begin{pmatrix} 250 \\ 200 \\ 650 \end{pmatrix}$ sowie $\vec{u_2} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 100 \end{pmatrix}$ und es gilt $H \cdot \vec{u_2} = 0{,}8 \cdot \vec{u_2}$.

Zeigen Sie, dass die Zusammensetzung der Population ein Jahr später durch den Vektor $\vec{w_1} = r \cdot \vec{u_1} + 0{,}8 \cdot s \cdot \vec{u_2}$ beschrieben wird. Weisen Sie nach, dass sich die Population mit der Zeit einer Zusammensetzung nähert, die durch einen bestimmten Vektor dargestellt wird, und geben Sie diesen Vektor an. [5 BE]