Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2021

In einer Stadt bieten die Taxiunternehmen A, B und C ihre Dienstleistung an. Die Verteilung der Kunden lässt sich durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ darstellen, wobei a, b und c die Anzahlen der Kunden der Unternehmen A, B bzw. C bezeichnen. Damit kann die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat n zum nächsten modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}7 \\ 0{,}3 & 0{,}8 & 0{,}2 \\ 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}1 \end{pmatrix}$ beschrieben werden. Die inverse Matrix von M ist $M^{-1} = \frac{1}{30} \begin{pmatrix} -6 & -6 & 54 \\ -9 & 41 & -19 \\ 45 & -5 & -5 \end{pmatrix}$.

a

Stellen Sie die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat n zum nächsten in einem Übergangsdiagramm dar.

Im Folgenden soll vereinfachend eine feste Gruppe von 7000 einheimischen Kunden betrachtet werden, die sich auf die drei Taxiunternehmen verteilen.

b

Es gibt eine Kundenverteilung mit 1600 Kunden des Unternehmens A, die sich nicht mehr verändern würde. Ermitteln Sie diese Verteilung.

c

In einem Monat hat das Unternehmen A 2000 Kunden. Ermitteln Sie alle Werte, die für die Anzahl der Kunden des Unternehmens B im folgenden Monat möglich sind.

d

Im Mai eines Jahres hat das Unternehmen A 2800 Kunden, das Unternehmen B 2400 Kunden und das Unternehmen C 1800 Kunden. Ermitteln Sie die Kundenverteilung im vorhergehenden Monat sowie die prozentuale Abnahme der Anzahl der Kunden des Unternehmens C beim Übergang von April zu Mai.

%

Aufgrund der Unzuverlässigkeit des Taxiunternehmens B hat sich der Anteil der Kunden, die von Monat zu Monat bei diesem Unternehmen bleiben, verringert. Die Kunden, die nun zusätzlich zu einem anderen Taxiunternehmen wechseln, verteilen sich jeweils zur Hälfte auf die Unternehmen A und C. Die Anteile der Kunden der Unternehmen A und C, die bisher das Unternehmen von Monat zu Monat gewechselt haben, bleiben erhalten, diese Kunden wechseln nun aber nicht mehr zum Unternehmen B.

e

Entscheiden Sie, welche der folgenden Matrizen P und Q das geänderte Wechselverhalten der Kunden beschreibt, und begründen Sie Ihre Entscheidung.

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}18 & 0{,}9 \\ 0 & 0{,}68 & 0 \\ 0{,}9 & 0{,}14 & 0{,}1 \end{pmatrix}, \quad Q = \begin{pmatrix} 0{,}1 & 0{,}18 & 0{,}9 \\ 0 & 0{,}64 & 0 \\ 0{,}9 & 0{,}18 & 0{,}1 \end{pmatrix}$$

f

Von dem Zeitpunkt an, ab dem das geänderte Wechselverhalten gilt, nimmt die Anzahl der Kunden des Unternehmens B kontinuierlich ab. Geben Sie an, wie sich dies in der Matrix zeigt, die Sie in der Teilaufgabe e gewählt haben. Ermitteln Sie, im wievielten Monat nach dem genannten Zeitpunkt die Anzahl der Kunden des Unternehmens B erstmalig kleiner ist als 1 % der Anzahl der Kunden, die das Unternehmen B unmittelbar vor diesem Zeitpunkt hatte.