Aufgabengruppe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2026

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Insekten. Diese Entwicklung vollzieht sich in drei Stadien. Die Verteilung der Insekten auf die drei Stadien kann durch Vektoren $\vec{v_n}$ der Form $\begin{pmatrix} A \\ B \\ C \end{pmatrix}$ mit $n \in \mathbb{N}$ dargestellt werden. Dabei ist $A$ die Anzahl der Insekten im ersten Stadium, $B$ die Anzahl der Insekten im zweiten Stadium und $C$ die Anzahl der Insekten im dritten Stadium. Die Entwicklung der Population von einem Tag zum nächsten lässt sich modellhaft durch die Matrix $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ r & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}6 & 0 \end{pmatrix}$ mit der reellen Zahl $r$ und die Gleichung $\vec{v_{n+1}} = M \cdot \vec{v_n}$ beschreiben, wobei $\vec{v_0} \neq \vec{0}$ die Verteilung der Insekten auf die drei Stadien zu Beobachtungsbeginn angibt.

a

Begründen Sie, dass das abgebildete Übergangsdiagramm fehlerhaft ist. [1 BE]

b

Nach drei Tagen stimmt die Verteilung der Insekten auf die drei Stadien mit der Verteilung der Insekten auf die drei Stadien zu Beobachtungsbeginn überein. Bestimmen Sie $r$. [4 BE]