Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere eines Wildtierbestands in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Die Entwicklung dieser weiblichen Tiere lässt sich in drei Lebensphasen einteilen: Nachkommen werden im Frÿhjahr geboren und im ersten Lebensjahr als Kitze sowie im Alter von einem Jahr als Jungtiere bezeichnet; Tiere ab einem Alter von zwei Jahren gelten als erwachsen.

In einem Modell werden Zusammensetzungen der Population durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} \text{K} \\ \text{J} \\ \text{E} \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $\text{K}$ die Anzahl der Kitze, $\text{J}$ die Anzahl der Jungtiere und $\text{E}$ die Anzahl der erwachsenen Tiere bezeichnet. Zu Beginn der Beobachtung der Population wird deren Zusammensetzung durch einen Vektor $\vec{v}_0$ dargestellt. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten Jahr lässt sich durch die Matrix

$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}65 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$ und die Gleichung $R \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ beschreiben.

Sechs, sieben und acht Jahre nach Beobachtungsbeginn lassen sich die Zusammensetzungen der Population im Modell durch folgende Vektoren darstellen:

$$\vec{v}_6 \approx \begin{pmatrix} 500 \\ 343 \\ 603 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_7 \approx \begin{pmatrix} 585 \\ 400 \\ 705 \end{pmatrix}, \quad \vec{v}_8 \approx \begin{pmatrix} 684 \\ 468 \\ 824 \end{pmatrix}$$

a)

Berechnen Sie im Modell die Anzahl der Kitze, die Anzahl der Jungtiere und die Anzahl der erwachsenen Tiere neun Jahre nach Beobachtungsbeginn. [2 BE]

b)

Der folgenden Tabelle ist für drei Zeitpunkte jeweils zu entnehmen, um welchen Anteil die Anzahl aller Tiere der Population gegenüber dem Vorjahr zugenommen hat:

Zeitpunkt

sieben Jahre

acht Jahre

neun Jahre

nach Beobachtungsbeginn

Wachstum

17 %

17 %

17 %

Bestätigen Sie rechnerisch den Wert für den Zeitpunkt acht Jahre nach Beobachtungsbeginn. Stellen Sie anhand der in der Tabelle angegebenen Werte eine Vermutung dazu auf, wie sich das Wachstum der Population ohne Verwendung von Matrizen näherungsweise beschreiben lässt. [3 BE]

c)

Berechnen Sie auf der Grundlage Ihrer Vermutung, auf wie viele Tiere die sieben Jahre nach Beobachtungsbeginn vorhandene Population nach weiteren 15 Jahren angewachsen ist. Geben Sie einen Grund dafür an, dass dieser Wert der Realität möglicherweise nicht gerecht wird. [4 BE]