Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2021

1 Aufgabe

Ein Energieversorgungsunternehmen bietet drei verschiedene Stromtarife an: den Basistarif X, den Onlinetarif Y und den Ökotarif Z. Das Unternehmen ermöglicht es seinen Kunden, den gewählten Tarif monatlich zu wechseln.

Die Verteilungen der Kunden auf die drei Tarife können in einem dreidimensionalen Koordinatensystem durch Punkte $(x \mid y \mid z)$ dargestellt werden. Dabei ist $x$ der Anteil der Kunden im Tarif X, $y$ der Anteil im Tarif Y und $z$ der Anteil im Tarif Z.

Die Abbildung zeigt den Würfel ABCDEFGH mit $A(0|0|0)$, $B(1|0|0)$ und $D(0|1|0)$.

a

Betrachtet werden die Punkte $J(0{,}3 \mid 0{,}3 \mid 0{,}5)$ und $K(0{,}6 \mid 0{,}4 \mid 0)$. Zeichnen Sie K in die Abbildung ein; ergänzen Sie gestrichelte Hilfslinien so, dass die Lage dieses Punkts im Raum – wie die Lage von J – zu erkennen ist. Geben Sie an, welcher der beiden Punkte keine mögliche Verteilung der Kunden darstellt, und begründen Sie Ihre Angabe.

[2 BE]

b

Beurteilen Sie jede der folgenden Aussagen:

[3 BE]

I Alle Punkte, die mögliche Verteilungen der Kunden darstellen, liegen innerhalb des abgebildeten Würfels oder auf dessen Oberfläche.

II Alle Punkte, die innerhalb des abgebildeten Würfels oder auf dessen Oberfläche liegen, stellen mögliche Verteilungen der Kunden dar.

c

Betrachtet werden alle möglichen Kundenverteilungen, bei denen genau $40\,\%$ der Kunden den Tarif X nutzen. Beschreiben Sie die Lage der zugehörigen Punkte im Koordinatensystem und begründen Sie Ihre Angabe.

[3 BE]

Die Verteilung der Kunden auf die drei Tarife kann auch durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ dargestellt werden. Die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat $n$ zum nächsten lässt sich modellhaft durch die Gleichung $P \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ mit

$$P = \begin{pmatrix} 0{,}84 & 0{,}02 & 0{,}01 \\ 0{,}14 & 0{,}71 & 0{,}13 \\ 0{,}02 & 0{,}27 & 0{,}86 \end{pmatrix}$$

beschreiben.

d

Stellen Sie die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat $n$ zum nächsten in einem Übergangsdiagramm dar.

[3 BE]

e

Für den Anteil aller Kunden, die von einem Monat zum nächsten den Tarif wechseln, gibt es im Modell einen kleinsten und einen größten möglichen Wert. Geben Sie diese beiden Werte an und begründen Sie Ihre Angabe.

[3 BE]

Die Lösungen der Gleichung $P \cdot \vec{v} = \vec{v}$ haben die Form $t \cdot \begin{pmatrix} 55 \\ 222 \\ 436 \end{pmatrix}$ mit $t \in \mathbb{R}$.

Das Unternehmen verfolgt das Ziel, dass mindestens $60\,\%$ der Kunden den Tarif Z nutzen.

f

Zeigen Sie auf der Grundlage des Modells, dass das Ziel langfristig erreicht wird.

[2 BE]

g

Um das Ziel schneller zu erreichen, wird eine Werbekampagne durchgeführt. Anschließend kann die Entwicklung der Kundenverteilung im Modell mithilfe einer Matrix

$$Q = \begin{pmatrix} 0{,}84\cdot(1-q) & 0{,}02 & 0{,}01 \\ 0{,}14\cdot(1-q) & 0{,}71 & 0{,}13 \\ 0{,}02 + r\cdot q & 0{,}27 & 0{,}86 \end{pmatrix} \quad \text{mit } q \in \, ]0;1[ \text{ dargestellt werden.}$$

Beschreiben Sie die Bedeutung von $q$ im Sachzusammenhang und bestimmen Sie den Wert von $r$.

[4 BE]

h

Die Kunden, die sich für den Tarif Z entscheiden, können zwischen den Varianten $Z_1$ (mit festem Verbrauchspreis) und $Z_2$ (mit flexiblem Verbrauchspreis) wählen. Unter Berücksichtigung dessen wird die Verteilung der Kunden durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} x \\ y \\ z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}$ dargestellt. Dabei sind $z_1$ und $z_2$ die Anteile der Kunden, die sich für $Z_1$ bzw. $Z_2$ entscheiden. Die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Monat zum nächsten wird in dem so erweiterten Modell durch die Matrix

$$R = \begin{pmatrix} 0{,}84 & 0{,}02 & 0{,}01 & 0{,}01 \\ 0{,}14 & 0{,}71 & 0{,}13 & 0{,}13 \\ 0{,}01 & 0{,}25 & 0{,}61 & 0{,}04 \\ 0{,}01 & 0{,}02 & 0{,}25 & 0{,}82 \end{pmatrix}$$

beschrieben.

Aus der Matrix $R$ lässt sich die Matrix $P$ herleiten. Zeigen Sie dies für die Einträge $0{,}27$ und $0{,}86$ von $P$. Begründen Sie, dass umgekehrt aus der Matrix $P$ nicht die Matrix $R$ hergeleitet werden kann.

[5 BE]