Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2021

In einem abgeschlossenen Waldgebiet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Wildkatzen untersucht. Die Zusammensetzung der Population wird durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} w \\ j \\ e \end{pmatrix}$ dargestellt; dabei ist $w$ die Anzahl der Welpen (bis sechs Monate alt), $j$ die Anzahl der Jungtiere (mehr als sechs Monate bis zwölf Monate alt) und $e$ die Anzahl der erwachsenen Tiere (mehr als zwölf Monate alt). Die Entwicklung der Population von einem Halbjahr $r$ zum nächsten kann modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{r+1} = P \cdot \vec{v}_r$ mit $$P = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 0{,}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}7 \end{pmatrix}$$ beschrieben werden. Zu Beginn der Untersuchung befinden sich im Waldgebiet ausschließlich acht Jungtiere und acht erwachsene Tiere.

a)

Zeigen Sie, dass das Modell zur Beschreibung der Entwicklung der Population vor Beginn der Untersuchung nicht geeignet ist. [2 BE]

b)

Gegeben ist die folgende Lösung einer Aufgabe im Sachzusammenhang:

$$f(r) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \cdot P^r \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 8 \end{pmatrix}$$

$$\text{Für } r \ge 4 \text{ gilt } \frac{f(r+1)}{f(r)} \approx 1{,}1.$$

$$k \cdot 1{,}1^4 = f(4) \text{ liefert } k \approx 32\text{, d. h. } f(r) \approx 32 \cdot 1{,}1^r \text{ für alle } r \ge 4.$$

Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und beschreiben Sie die Bedeutung der Zahl 1,1. [4 BE]