Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2019

Ein Unternehmen vermietet Tretboote. In der Hauptsaison betreibt es dazu an einem See die drei Stationen N, S und W. Ein Boot, das an einer der drei Stationen ausgegeben wurde, kann an einer beliebigen der drei Stationen zurückgegeben werden. Jedes Boot kann an einem Tag mehrfach ausgegeben werden; die Rückgabe erfolgt stets am selben Tag wie die Ausgabe.

Für jeden Tag können die Ausgaben von Booten an den drei Stationen durch einen Vektor $\vec{a}$ beschrieben werden, die Rückgaben durch einen Vektor $\vec{r}$. Beide Vektoren haben die Form $\begin{pmatrix} n \\ s \\ w \end{pmatrix}$, wobei $n$, $s$ und $w$ die Anzahlen der Boote sind, die an den Stationen N, S bzw. W am betrachteten Tag insgesamt ausgegeben bzw. zurückgegeben wurden. Der Zusammenhang zwischen den Vektoren lässt sich modellhaft durch die Gleichung $\vec{r} = M \cdot \vec{a}$ mit $$M = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0{,}2 \\ 0{,}1 & 0{,}75 & 0{,}05 \\ 0{,}3 & 0{,}15 & 0{,}75 \end{pmatrix}$$ darstellen.

a

Interpretieren Sie im Sachzusammenhang den Eintrag $0{,}05$ von $M$ sowie die Tatsache, dass die Summe der Einträge in jeder der drei Spalten von $M$ den Wert $1$ hat. [3 BE]

b

Stellen Sie den durch die angegebene Gleichung dargestellten Zusammenhang in einem Übergangsdiagramm dar. [3 BE]

c

Beurteilen Sie die folgende Aussage: [3 BE]

Wenn an einem Tag an allen drei Stationen gleich viele Boote ausgegeben werden, dann ist an der Station W die Anzahl der Rückgaben 20 % höher als die Anzahl der Ausgaben.

d

An einem Dienstag wurde an der Station N 40-mal ein Boot ausgegeben und 40-mal eines zurückgegeben. An der Station S wurde 37-mal ein Boot zurückgegeben, an der Station W 63-mal. Ermitteln Sie, wie viele Boote an der Station S ausgegeben wurden. [4 BE]

e

Für einen Samstag werden die Ausgaben von Booten an den drei Stationen durch $\begin{pmatrix} a \\ b \\ a+b \end{pmatrix}$ beschrieben, die Rückgaben durch $\begin{pmatrix} a+2 \\ b \\ c \end{pmatrix}$. Zeigen Sie, dass $c = a + b - 2$ gilt. Interpretieren Sie diese Gleichung im Sachzusammenhang. [3 BE]

f

In der Nebensaison werden nur die Stationen N und S betrieben, Boote werden also nur dort ausgegeben und können auch nur dort zurückgegeben werden. An einem Mittwoch wurde an der Station N 15-mal ein Boot ausgegeben und 8-mal eines zurückgegeben, an der Station S wurde 10-mal ein Boot ausgegeben und 17-mal eines zurückgegeben. Der Zusammenhang zwischen den Ausgaben und Rückgaben von Booten in der Nebensaison kann modellhaft mithilfe einer Matrix dargestellt werden. Ermitteln Sie eine Matrix, die dafür infrage kommt. [4 BE]