Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2026

Eine Population einer bestimmten Art von Käfern besteht aus Eiern, Larven und voll entwickelten Käfern. Die Zusammensetzung der Population wird durch Vektoren $\vec{v}_n$ der Form $\begin{pmatrix} E_n \\ L_n \\ K_n \end{pmatrix}$ mit $n \in \mathbb{N}$ dargestellt. Dabei bezeichnet $E_n$ die Anzahl der Eier, $L_n$ die Anzahl der Larven und $K_n$ die Anzahl der voll entwickelten Käfer am Anfang des Monats $n$ sowie $n=0$ den Beginn der Beobachtung. Die Entwicklung der Population vom Anfang des Monats $n$ zum Anfang des nächsten Monats lässt sich modellhaft durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = P \cdot \vec{v}_n$ mit $$P = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 20 \\ 0{,}6 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}4 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$ beschreiben.

a)

Stellen Sie die Entwicklung der Zusammensetzung der Population vom Anfang eines Monats zum Anfang des nächsten Monats in einem Übergangsdiagramm dar.

Anfang April besteht die Population aus 1000 Eiern, 2000 Larven und 3000 voll entwickelten Käfern.

b)

Bestimmen Sie die Zusammensetzung der Population Anfang Mai desselben Jahres.

c)

Betrachtet werden die folgenden drei Vektoren $\vec{f}$, $\vec{g}$ und $\vec{h}$:

$$\vec{f} = P \cdot P \cdot \left( \begin{pmatrix} 1000 \\ 2000 \\ 3000 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1000 \end{pmatrix} \right)$$

$$\vec{g} = P \cdot P \cdot \begin{pmatrix} 1000 \\ 2000 \\ 3000 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1000 \end{pmatrix}$$

$$\vec{h} = P \cdot \left( P \cdot \begin{pmatrix} 1000 \\ 2000 \\ 3000 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1000 \end{pmatrix} \right)$$

Genau einer dieser Vektoren beschreibt die Zusammensetzung der Population Anfang Juni, falls Anfang Mai desselben Jahres weitere tausend voll entwickelte Käfer der Population hinzugefügt werden. Entscheiden Sie, um welchen der drei Vektoren es sich dabei handelt.

Geben Sie für einen der beiden anderen Vektoren eine Bedeutung im Sachzusammenhang an:

Im Folgenden gilt für die Zusammensetzung der Population zu Beobachtungsbeginn $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 10000 \\ 3000 \\ K_0 \end{pmatrix}$ und $P \cdot \vec{v}_0 = r \cdot \vec{v}_0$, wobei $K_0$ eine natürliche und $r$ eine reelle Zahl mit $r > 1$ ist.

d)

Bestimmen Sie $r$ und $K_0$.

e)

Die Punkte $(n \mid K_n)$ mit $n \in \mathbb{N}$ liegen auf genau einer der Kurven I, II und III, die in der Abbildung gezeigt werden. Geben Sie diese Kurve an und begründen Sie Ihre Angabe.

Begründung: