Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2024

1 Betrachtet wird die Entwicklung einer Population von Tieren. Die Zusammensetzung der Population kann durch Vektoren $\vec{v}_n$ der Form $\begin{pmatrix} J \\ M \\ A \end{pmatrix}$ dargestellt werden, dabei ist $J$ die Anzahl der jungen Tiere (bis ein Jahr alt), $M$ die Anzahl der mittelalten Tiere (mehr als ein Jahr bis zwei Jahre alt) und $A$ die Anzahl der alten Tiere (mehr als zwei Jahre alt).

Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten lässt sich für $k \ge 0$ modellhaft durch die Matrix $P = \begin{pmatrix} k & 0{,}4 & 0{,}05 \\ 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}6 & 0{,}4 \end{pmatrix}$ und die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = P \cdot \vec{v}_n$ beschreiben.

a)

Stellen Sie die Entwicklung der Population in einem Übergangsdiagramm dar.

b)

Die Population besteht zu Beginn der Beobachtung ausschließlich aus 200 jungen Tieren. Zwei Jahre nach Beobachtungsbeginn beträgt die Anzahl der jungen Tiere 66. Ermitteln Sie den Wert von $k$.

c)

Zeigen Sie, dass für die Matrix $Q = \begin{pmatrix} 0{,}2 & 0{,}3 & 0{,}2 \\ 0{,}7 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}6 & 0{,}7 \end{pmatrix}$ die folgende Aussage wahr ist:

Für jeden Vektor $\vec{u}$ ist die Summe der Komponenten des Vektors $Q \cdot \vec{u}$ das 0,9-Fache der Summe der Komponenten des Vektors $\vec{u}$.

d)

Die Entwicklung einer anderen Population der oben beschriebenen Tierart kann von einem Jahr $n$ zum nächsten mithilfe der Matrix $Q$ aus Aufgabe 1c modellhaft beschrieben werden. Bestimmen Sie, wie viele Jahre nach Beobachtungsbeginn die Größe der Population, d. h. die Summe der Anzahlen der Tiere jeden Alters, erstmals auf unter 20 % ihres Werts zu Beobachtungsbeginn gesunken ist.

Jahre