Aufgabengruppe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2019

In einem System verteilt sich der Gesamtbestand auf die Zustände A und B. Zum Zeitpunkt $n$ mit $n \in \mathbb{N}$ wird die Verteilung auf die Zustände A und B durch den Verteilungsvektor $\vec{v}_n = \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ beschrieben. Dabei gibt $a_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands an, der sich im Zustand A befindet, und $b_n$ denjenigen Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand B befindet. Zum Zeitpunkt 0 sind beide Anteile größer als null. Die Abbildung beschreibt die Übergänge zwischen den Zuständen von einem Zeitpunkt zum nächsten.

Die Entwicklung der Verteilung wird durch die Gleichung $\vec{v}_{n+1} = M \cdot \vec{v}_n$ mit $M = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}$ beschrieben.

a)

Beschreiben Sie mithilfe der Abbildung, wie sich die Verteilung auf lange Sicht entwickelt. [2 BE]

b)

Bestimmen Sie mithilfe des Terms $M \cdot \begin{pmatrix} a_n \\ b_n \end{pmatrix}$ den kleinsten Wert von $n$, für den der Anteil des Gesamtbestands, der sich im Zustand A befindet, bis zum Zeitpunkt $n$ auf weniger als 10 % seines Werts zum Zeitpunkt 0 abnimmt. [3 BE]