Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2026

Ein Unternehmen fertigt aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$. Aus den Zwischenprodukten werden die Endprodukte $E_1$ und $E_2$ gefertigt.

Der Bedarf an Rohstoffen für die erste Stufe des Fertigungsprozesses kann mithilfe der Gleichung

$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$$

beschrieben werden und der Bedarf an Zwischenprodukten für die zweite Stufe mithilfe der Gleichung

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$$

Dabei geben die Einträge der Vektoren $\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten (ME) der drei Rohstoffe, der drei Zwischenprodukte bzw. der beiden Endprodukte an.

a)

Von den Endprodukten $E_1$ und $E_2$ soll jeweils eine Mengeneinheit gefertigt werden. Bestimmen Sie für jedes der drei Zwischenprodukte und für den Rohstoff $R_1$ die benötigte Anzahl der Mengeneinheiten. [3 BE]

b)

Das Ergebnis der Multiplikation

$$\begin{pmatrix} 5 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6 \\ 5 & 6 & 6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

wird mit $N$ bezeichnet. Geben Sie die Bedeutung der Matrix $N$ im Sachzusammenhang an. [1 BE]

c)

Von jedem der drei Rohstoffe sind genau $1298$ ME vorhanden. Für einen Auftrag sollen doppelt so viele Mengeneinheiten des Endproduktes $E_2$ wie des Endproduktes $E_1$ gefertigt werden. Ermitteln Sie für diesen Auftrag, wie viele Mengeneinheiten von $E_2$ mit den vorhandenen Rohstoffen maximal gefertigt werden können. [4 BE]

ME

d)

Der folgenden Tabelle können für die Rohstoffe die Anschaffungskosten pro Mengeneinheit in Geldeinheiten entnommen werden:

Rohstoff

$R_1$

$R_2$

$R_3$

Anschaffungskosten

5

6

7

Für jeden der drei Rohstoffe wird in den kommenden fünf Jahren von einem konstanten jährlichen prozentualen Anstieg der Anschaffungskosten ausgegangen. Für die Rohstoffe $R_1$ und $R_2$ beträgt dieser prozentuale Anstieg $3\,\%$ pro Jahr. Die Produktion des Endprodukts $E_1$ bleibt nur dann rentabel, wenn die gesamten Anschaffungskosten der Rohstoffe zur Fertigung von $E_1$ in den kommenden fünf Jahren um insgesamt höchstens $20\,\%$ ansteigen. Hierzu darf der jährliche prozentuale Anstieg der Anschaffungskosten für den Rohstoff $R_3$ nicht zu groß sein. Bestimmen Sie den maximalen Wert dieses prozentualen Anstiegs pro Jahr. [5 BE]

%