Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2021

Gegeben sind die Punkte $A(2|-3|1)$ und $B(2|3|1)$.

Aus den Rohstoffen $R_1$, $R_2$ und $R_3$ werden die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ und $Z_3$ und daraus die Endprodukte $E_1$ und $E_2$ hergestellt. Die Abbildung gibt, jeweils in Mengeneinheiten, für jedes Zwischenprodukt den Bedarf an Rohstoffen und für jedes Endprodukt den Bedarf an Zwischenprodukten an.

Für den Produktionsprozess gilt

$$\begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 12 & 4 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}.$$

Dabei gibt der Vektor $\vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Rohstoffe und der Vektor $\vec{e} = \begin{pmatrix} e_1 \\ e_2 \end{pmatrix}$ die Anzahlen der Mengeneinheiten der Endprodukte an.

a)

Ausgehend von 8 Mengeneinheiten von $R_1$, 28 Mengeneinheiten von $R_2$ und $r_3$ Mengeneinheiten von $R_3$ werden Endprodukte hergestellt. Dabei bleiben keine Rohstoffe übrig. Bestimmen Sie den Wert von $r_3$.

b)

Bestimmen Sie die Werte von $a$ und $b$ (vgl. Abbildung).