Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (WTR)

Ein Industriebetrieb fertigt gemäß dem abgebildeten Verflechtungsgraphen aus den Ausgangsprodukten $A_1$, $A_2$ und $A_3$ zunächst die Zwischenprodukte $Z_1$, $Z_2$ sowie $Z_3$ und daraus anschließend die beiden Endprodukte $E_1$ sowie $E_2$.

Stückzahlen der Ausgangsprodukte, der Zwischenprodukte und der Endprodukte sollen jeweils durch einen Spaltenvektor dargestellt werden. Die Verflechtungsmatrix $AZ$ gibt zu jedem Zwischenprodukt die Stückzahlen der für ein Stück erforderlichen Ausgangsprodukte an, die Verflechtungsmatrix $ZE$ entsprechend zu jedem Endprodukt die Stückzahlen der erforderlichen Zwischenprodukte.

a)

Geben Sie $AZ$ und $ZE$ an. [2 BE]

b)

Dem Industriebetrieb liegt eine Bestellung von $500\text{ }E_1$ und $400\text{ }E_2$ vor. Berechnen Sie die Stückzahlen der dafür erforderlichen Ausgangsprodukte. [4 BE]

c)

Den folgenden Tabellen können für die Ausgangsprodukte und die Zwischenprodukte die dem Betrieb entstehenden Anschaffungskosten bzw. Fertigungskosten pro Stück entnommen werden:

$A_1$

$A_2$

$A_3$

Anschaffungskosten

2 €

1 €

3 €

$Z_1$

$Z_2$

$Z_3$

Fertigungskosten

3,5 €

5 €

2 €

Die Kosten für die Fertigung eines Endprodukts $E_1$ aus den Zwischenprodukten betragen sieben Euro. Ermitteln Sie die Kosten, die dem Betrieb für die Herstellung eines Endprodukts $E_1$ für Anschaffung und Fertigung insgesamt entstehen. [4 BE]

d)

Der Betrieb hat $46\text{ }Z_1$, $64\text{ }Z_2$ und $81\text{ }Z_3$ auf Lager. Bestimmen Sie, wie viele Endprodukte $E_1$ sich daraus höchstens fertigen lassen. [2 BE]

e)

Beschreiben Sie für jede der Matrizen $AZ$ und $ZE$, wie die Anzahl der Zeilen und die Anzahl der Spalten verändert werden müssen, wenn aus den Ausgangsprodukten ein weiteres Zwischenprodukt $Z_4$ gefertigt wird, das für die Herstellung der Endprodukte verwendet wird. [2 BE]