Aufgabe 3 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Betrachtet wird die Entwicklung einer Population weiblicher Tiere eines Wildtierbestands in einem großen, abgeschlossenen Gebiet. Die Entwicklung dieser weiblichen Tiere lässt sich in drei Lebensphasen einteilen: Nachkommen werden im Frühjahr geboren und im ersten Lebensjahr als Kitze sowie im Alter von einem Jahr als Jungtiere bezeichnet; Tiere ab einem Alter von zwei Jahren gelten als erwachsen.

In einem Modell werden Zusammensetzungen der Population durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} \text{K} \\ \text{J} \\ \text{E} \end{pmatrix}$ dargestellt, wobei $\text{K}$ die Anzahl der Kitze, $\text{J}$ die Anzahl der Jungtiere und $\text{E}$ die Anzahl der erwachsenen Tiere bezeichnet. Zu Beginn der Beobachtung der Population wird deren Zusammensetzung durch den Vektor $\vec{v}_0 = \begin{pmatrix} 115 \\ 65 \\ 320 \end{pmatrix}$ dargestellt. Die Entwicklung der Population von einem Jahr $n$ zum nächsten Jahr lässt sich durch die Matrix$$R = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}8 \\ 0{,}8 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}65 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$und die Gleichung $R \cdot \vec{v}_n = \vec{v}_{n+1}$ beschreiben.

Aufgrund einer Krankheit halbiert sich die Überlebensrate der Kitze. Die Entwicklung der Population von einem Jahr zum nächsten Jahr kann nun im Modell durch die Matrix

$$M = \begin{pmatrix} 0 & 0{,}3 & 0{,}8 \\ 0{,}4 & 0 & 0 \\ 0 & 0{,}65 & 0{,}8 \end{pmatrix}$$

beschrieben werden.

a)

Es gilt $R \cdot M = \begin{pmatrix} 0{,}12 & 0{,}52 & 0{,}64 \\ 0 & 0{,}24 & 0{,}64 \\ a & 0{,}52 & 0{,}64 \end{pmatrix}$. Berechnen Sie den Wert von $a$.

b)

Interpretieren Sie den Term $R \cdot M \cdot \vec{v}_9$ hinsichtlich der Entwicklung der Population.