Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung LK · Teil A · Lineare Algebra (2019)

Aufgabenstellung

Definition

Für jede Matrix M=(abcd)M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} und a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R} heißt die Matrix MT=(acbd)M^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} transponierte Matrix von MM. Eine Matrix MM heißt orthogonal, wenn MT⋅M=(1001)M^T \cdot M = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} gilt.

a)

Zeigen Sie, dass die Matrix (35−454535)\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} orthogonal ist. [2 BE]

b)

Untersuchen Sie, ob die Matrix (0110)101\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{101} orthogonal ist. [3 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil A · Lineare Algebra 2019

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

Zeigen Sie, dass die Matrix (3/5, -4/5; 4/5, 3/5) orthogonal ist.

Lösung: (3545−4535)⋅(35−454535)=(35⋅35+45⋅4535⋅(−45)+45⋅35(−45)⋅35+35⋅45(−45)⋅(−45)+35⋅35)=(1001)\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & \frac{4}{5} \\ -\frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5} & \frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{5} & \frac{3}{5}\cdot(-\frac{4}{5})+\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5} \\ (-\frac{4}{5})\cdot\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5} & (-\frac{4}{5})\cdot(-\frac{4}{5})+\frac{3}{5}\cdot\frac{3}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

Untersuchen Sie, ob die Matrix (0,1;1,0)^101 orthogonal ist.

Lösung: (0110)101=(0110)\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{101} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, und diese ist orthogonal.

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