Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Thema: Matrizen und Übergangsprozesse · Aus der Prüfung GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Aufgabenstellung

Ein Forstbetrieb zieht auf verschiedenen Waldflächen Tannen auf. Entsprechend ihrer Höhe werden die Tannen den Größenklassen K (klein), M (mittel) und G (groß) zugeordnet. Jeweils zu Beginn einer Wachstumsperiode wird eine Bestandsaufnahme durchgeführt. Bei den im Folgenden modellhaft beschriebenen Übergängen zwischen den drei Größenklassen innerhalb einer Wachstumsperiode ist jeweils berücksichtigt, dass beschädigte, kranke und abgestorbene Bäume im Laufe jeder Wachstumsperiode aus dem Bestand entfernt werden.

2 Auf einer zweiten Waldfläche wird eine andere Art von Tannen aufgezogen. Für diese Tannen können die Übergänge zwischen den Größenklassen innerhalb einer Wachstumsperiode durch die folgende Tabelle beschrieben werden:

Eine Bestandsaufnahme ergibt 450450 Tannen der Größenklasse K, 42304230 Tannen der Größenklasse M und 53205320 Tannen der Größenklasse G.

a)

Beschreiben Sie am Beispiel des Übergangs von Tannen der Größenklasse K, wie sich das Wachstumsverhalten der Tannen auf dieser Waldfläche innerhalb einer Wachstumsperiode von dem der in Aufgabe 1 betrachteten Tannen unterscheidet. [2 BE]

Im Folgenden werden nur die Tannen auf der zweiten Waldfläche betrachtet.

b)

Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden nach der Bestandsaufnahme. [2 BE]

c)

Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden vor der Bestandsaufnahme. [3 BE]

Im Folgenden soll von dem allgemeinen Bestandsvektor x⃗=(kmg)\vec{x} = \begin{pmatrix} k \\ m \\ g \end{pmatrix} ausgegangen werden, wobei kk die Anzahl der Tannen der Größenklasse K, mm die Anzahl der Tannen der Größenklasse M und gg die Anzahl der Tannen der Größenklasse G bezeichnet.

d)

Zeigen Sie, dass die Anzahl der Tannen innerhalb einer Wachstumsperiode um 5 %5\,\% abnimmt. [3 BE]

e)

Am Ende einer Wachstumsperiode, innerhalb derer sich der Bestand zunächst gemäß der gegebenen Tabelle entwickelt hat, werden 56 %56\,\% des dann vorhandenen Bestands an gesunden Tannen der Größenklasse G gefällt. Bestimmen Sie, wie viele Tannen nach dem Fällen insgesamt neu angepflanzt werden müssen, damit die Anzahl der Tannen anschließend mit derjenigen zu Beginn dieser Wachstumsperiode übereinstimmt. [4 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Lineare Algebra (CAS)

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Beschreiben Sie am Beispiel des Übergangs von Tannen der Größenklasse K, wie sich das Wachstumsverhalten der Tannen auf dieser Waldfläche innerhalb einer Wachstumsperiode von dem der in Aufgabe 1 betrachteten Tannen unterscheidet.

Lösung: Im Vergleich zum Wachstumsverhalten der in Aufgabe 1 betrachteten Tannen verbleiben von den Tannen auf dieser Waldfläche innerhalb einer Wachstumsperiode weniger in der Größenklasse K, während ein größerer Anteil der Tannen in die Größenklasse M übergeht. Einen direkten Übergang von der Größenklasse K in die Größenklasse G gibt es auf dieser Waldfläche nicht.

b) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden nach der Bestandsaufnahme: Größenklasse K.

Lösung: 28

b) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden nach der Bestandsaufnahme: Größenklasse M.

Lösung: 1532

b) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden nach der Bestandsaufnahme: Größenklasse G.

Lösung: 7465

c) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden vor der Bestandsaufnahme: Größenklasse K.

Lösung: 7200

c) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden vor der Bestandsaufnahme: Größenklasse M.

Lösung: 655

c) Bestimmen Sie die Anzahl der Tannen in den einzelnen Größenklassen zwei Wachstumsperioden vor der Bestandsaufnahme: Größenklasse G.

Lösung: 3226

d) Zeigen Sie, dass die Anzahl der Tannen innerhalb einer Wachstumsperiode um 5 % abnimmt.

Lösung: A⋅(kmg)=(0,25⋅k0,7⋅k+0,55⋅m0,4⋅m+0,95⋅g)A \cdot \begin{pmatrix} k \\ m \\ g \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0{,}25 \cdot k \\ 0{,}7 \cdot k + 0{,}55 \cdot m \\ 0{,}4 \cdot m + 0{,}95 \cdot g \end{pmatrix} 0,25⋅k+0,7⋅k+0,55⋅m+0,4⋅m+0,95⋅g=0,95⋅(k+m+g)0{,}25 \cdot k + 0{,}7 \cdot k + 0{,}55 \cdot m + 0{,}4 \cdot m + 0{,}95 \cdot g = 0{,}95 \cdot (k + m + g) Am Ende der Wachstumsperiode sind noch 95 %95\,\% der Tannen erhalten, die Anzahl der Tannen hat also um 5 %5\,\% abgenommen.

e) Bestimmen Sie, wie viele Tannen nach dem Fällen insgesamt neu angepflanzt werden müssen, damit die Anzahl der Tannen anschließend mit derjenigen zu Beginn dieser Wachstumsperiode übereinstimmt.

Lösung: 0,05⋅k+0,274⋅m+0,582⋅g0{,}05 \cdot k + 0{,}274 \cdot m + 0{,}582 \cdot g

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