Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (WTR) 2025

Die Kunden eines Pay-TV-Anbieters können zwischen drei Varianten von Abonnements (Abo) wählen: dem Kino-Abo (K), dem Premium-Abo (P) und dem Sport-Abo (S). Im Folgenden werden 3000 Kunden betrachtet, die zu jeder Zeit genau ein Abo haben und die jeweils zu Beginn eines Quartals die Abo-Variante wechseln können.

Die Verteilung dieser Kunden auf die drei Abo-Varianten kann durch Vektoren der Form $\begin{pmatrix} k \\ p \\ s \end{pmatrix}$ dargestellt werden, wobei $k$, $p$ und $s$ die Anzahlen der Kunden mit der Abo-Variante K, P bzw. S bezeichnen. Die Entwicklung der Kundenverteilung von einem Quartal $n$ zum nächsten lässt sich modellhaft durch die Gleichung $\mathrm{v}_{n+1} = \mathrm{M} \cdot \mathrm{v}_n$ mit $$\mathrm{M} = \begin{pmatrix} 0{,}6 & 0{,}1 & 0 \\ 0{,}3 & 0{,}8 & 0{,}5 \\ 0{,}1 & 0{,}1 & 0{,}5 \end{pmatrix}$$ beschreiben.

a

Beschreiben Sie die Bedeutung der Einträge $0$ und $0{,}8$ in der Matrix $\mathrm{M}$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b

Es gibt eine Kundenverteilung, die sich von einem Quartal zum nächsten nicht mehr ändert. Untersuchen Sie, ob bei dieser Verteilung mehr als $60\,\%$ der Kunden die Abo-Variante P haben. [5 BE]

Ja

Nein

c

Es gilt: $$\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 7 & -1 & 1 \\ -2 & 6 & -6 \\ -1 & -1 & 9 \end{pmatrix} \cdot \mathrm{M} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Zu Beginn eines Quartals haben genauso viele Kunden die Abo-Variante K wie die Abo-Variante P. Bestimmen Sie die größtmögliche Anzahl von Kunden, die zu Beginn des vorausgegangenen Quartals die Abo-Variante K hatten. [6 BE]